Введение в комбинаторику - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Введение в комбинаторику. Доклад-сообщение содержит 26 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Тема урока: Введение в комбинаторику. Цель урока: 1) понятие комбинаторных задач 2)основные методы решения комбинаторных задач

Слайд 2

Описание слайда:

Эпиграф урока: «Число , место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр

Слайд 3

Описание слайда:

Что такое комбинаторика? Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому-агроному, планирующему распределение с/х культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав. С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности. После первых работ, выполненных в 16в. Итальянскими учеными Дж.Кардано, Н.Тартальей и Г.Галилеем, такие задачи изучали французские математики Б.паскаль и П.Ферма. Первым рассмотрел комбинаторику как самостоятельная ветвь науки немецкий философ и математик Г.Лейбниц, опубликовавший в 1666г. Работу «Об искусстве комбинаторики». Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л.Эймеру.

Слайд 4

Описание слайда:

Фигурные числа. В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры. Так появились квадратные числа, сконструированы треугольные и пятиугольные числа. Квадратное число находится по формуле: Nкв.=п х п Треугольное число находится по формуле: Nтр.=п(п-1):2 Пятиугольные числа находятся по формуле: Nпят.=п+3п(п-1):2 Все составные числа древние математики представляли в виде прямоугольников.

Слайд 5

Описание слайда:

Фигурные числа.

Слайд 6

Описание слайда:

Квадратные числа

Слайд 7

Описание слайда:

Магические и латинские квадраты.

Слайд 8

Описание слайда:

Методы решения комбинаторных задач 1. Правило суммы. 2. Правило произведения 3. Таблицы. 4. Графы (деревья). 5. Формулы.

Слайд 9

Описание слайда:

Правило суммы Если элемент А может быть выбран к1 способами, а элемент В – к2 способами, причем выборы А и В являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен к1+к2 способами. Задача 1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ? Решение: к1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28), к2=4 – кратное 3 (3,15,21,75) к1+к2 = 5+4 = 9

Слайд 10

Описание слайда:

Правило произведения Если элемент А может быть выбран к1 способами, а элемент В – к2 способами, то выбор «А и В» может быть осуществлен к1хк2 способами Задача2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9? Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями) б) Сколько среди них чисел, кратных 5? Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5. На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5. N= 5х1 =5 в) Сколько среди них чисел, кратных 11? Решение: Двузначное число кратно 11, если обе его цифры одинаковы. N= 5 г) Сколько среди них чисел, кратных 3? Решение: Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Составим всевозможные пары: 1 -1 3 -3 5 – 5 7 – 7 9 -9 1 -3 3 -5 5 – 7 7 – 9 1 -5 3 -7 5 -9 1 -7 3 – 9 1 – 9 Таких пар 15. Среди них 5 пар, сумма которых делится на 3, причем три пары допускают перестановку, т.е. могут образовать по два разных числа. Всего 5+3=8 различных двузначных чисел.

Слайд 11

Описание слайда:

Правило произведения Задача 3. Сколько существует способов занять 1-ое, 2-ое и 3-е места на чемпионате по футболу, в котором участвуют а) 10 команд Решение: N=10х9х8=720 б) 11 команд? Решение: N=11х10х9х8=990 Задача 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2,3,4, если а) цифры не повторяются? Решение: На первом месте одна из 4-х цифр ( 0 не может быть), на 2-ом – одна из оставшихся 4-х: N=4х4= 16 б) цифры могут повторяться Решение: На 1-ом месте может быть одна из 4-х цифр, на 2-ом – одна из 5 (0 входит): N=4х5= 20

Слайд 12

Описание слайда:

Правило произведения Задача 5. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. а)Сколько всего стран могут использовать такую символику? Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N=4х3х2х1=24 б) Сколько стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой? Решение: Если фиксировать цвет белой полосы, то цвета следующих полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами. в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней белой полосой? Решение: Если фиксировать цвет нижней полосы, то цвета трех расположенных над ней полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами. г) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом? Решение: Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12

Слайд 13

Описание слайда:

Правило произведения Задача 6. В клетки квадратной таблицы 2х2 произвольно ставят крестики и нолики. а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу? Решение: Для заполнения первой клетки есть 2 способа ( крестик или нолик); для заполнения каждой последующей – тоже 2 способа; общее количество способов заполнить таблицу по правилу произведения равно 2х2х2х2=16. б) В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик? Решение: Если в левой нижней клетке фиксируем крестик, то остальные 3 клетки можно заполнить 2х2х2=8 различными способами. в) В скольких случаях в верхней левой и нижней правой будут разные значки? Решение: Если в верхней клетке – крестик, а нижней – нолик, то остальные клетки можно заполнить 2х2=4 способами. Если в верхней клетке – нолик, в нижней – крестик, то еще 4 способа заполнения. Всего 4+4=8 способов.

Слайд 14

Описание слайда:

Правило произведения Задача 7. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом? Решение: Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет. Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего 4х2х4х3х2х1=192 способами. По правилу сложения 48+192= 240 способов.

Слайд 15

Описание слайда:

Правило произведения Задача 8. Из цифр 1,2,3,5 составили все возможные четырехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких чисел, которые больше 2000, но меньше 5000? Решение: Выбор 1-ой цифры – 2 способа (3,4), 2-ой цифры – 3 способа, третьей – 2 способа, четвертой -1. По правилу произведения N=2х3х2х1=12 чисел. Задача 9. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0,1,2,…9.Каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7 и т.п. Хватит ли кодовых замков для всех квартир, если в доме 96 квартир? (код 0-0 не существует) Решение: Выбор 1-й цифры – 10 вариантов, 2-й –10 вариантов. Всего 10х10 – 1 = 99 вариантов Ответ: хватит.

Слайд 16

Описание слайда:

Правило произведения Задача 10. В контрольной работе будет 5 задач – по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной работе Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите: а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы Решение: Каждая задача может быть выбрана 10 способами. По правилу произведения N=10х10х10х10х10=100000 б)число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все 5 задач Решение: N=8х8х8х8х8=32768 в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи Решение: N=2х2х2х2х2=32 г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой. Решение: N=2х8х8х8х8=8192

Слайд 17

Описание слайда:

Правило произведения Задача 11. Три вершины правильного 10-угольника покрасили в рыжий цвет, а остальные – в черный. Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами? Решение: Первую рыжую вершину можно соединить отрезком с любой из 10 – 3 = 7 черных вершин, после этого вторую рыжую вершину можно соединить отрезком с любой из 6 оставшихся черных вершин, а третью рыжую – с любой из 5 оставшихся черных вершин. Общее число вариантов (отрезков с разноцветными концами) по правилу произведения равно: 7х6х5=210 Задача 12. Сколько ребер имеет полный граф (каждая вершина соединена с каждой), если количество его вершин 12? Решение: Первую вершину можно выбрать из 12, вторую – из 11; всего 12х11=132 пары. Но они учитывают порядок выбора (каждая пара входит дважды). Поэтому количество ребер равно 12х11:2=66

Слайд 18

Описание слайда:

Таблицы вариантов Задача 13. Составляя расписание уроков на понедельник для 7а класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока? Решение: Составим таблицу вариантов: Всего существует 2х3 = 6 вариантов

Слайд 19

Описание слайда:

Таблицы вариантов Задача 14. Сколько двузначных чисел, кратных 3, можно получить из цифр 1,3,5,7,9? а) цифры не повторяются - 6 вариантов (15,39,57,51,75,93) б) цифры могут повторяться – 8 вариантов (еще 33,99)

Слайд 20

Описание слайда:

Подсчет вариантов с помощью графов Задача 15. При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько было рукопожатий, если друзей: а) трое б) четверо в) пятеро N=3 N=6 N=10

Слайд 21

Описание слайда:

Построение графов Задача 16. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрече участвовали: А) 3 человека б) 4 человека в) 5 человек 3 ребра, 6 стрелок 6 ребер, 12 стрелок 10 ребер, 20 стрелок N=6 N=12 N=20

Слайд 22

Описание слайда:

Граф-дерево Задача 17. Из 4-х тузов поочередно выбирают два. А) Нарисуйте дерево возможных вариантов (12 вариантов) Б) В скольких случаях среди выбранных будет бубновый туз? (6) В) В скольких случаях вторым выбранным будет туз пик? (3) Г) В скольких случаях тузы будут разного цвета? (8) Б Ч П К 1-ый выбор Ч П К Б П К Ч Б К Б Ч П 2-ой выбор

Слайд 23

Описание слайда:

Граф-дерево Задача 18. Маше на день рождения подарили 3 букета цветов: из роз (р), астр (а) и гвоздик (г). В доме было 2 вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала устанавливать каждый букет в каждую вазу. Перечислить все полученные сочетания букета с вазой.

Слайд 24

Описание слайда:

Виды выборок Перестановки Размещения Сочетания Размещения с повторениями (строки) Перестановки с повторениями Сочетания с повторениями Разбиения Подмножества