Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства

Нажмите для полного просмотра!

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №2

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №3

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №4

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №5

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №6

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №7

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №8

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №9

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №10

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №11

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №12

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №13

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №14

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №15

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №16

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №17

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №18

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №19

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №20

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №21

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №22

Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства, слайд №23

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства. Доклад-сообщение содержит 23 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Министерство образования и науки РФ Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра высшей математики Математика Лекция 5. Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства. Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г. Екатеринбург - 2012

Слайд 2

Описание слайда:

Рекомендуемая литература Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 2007. – 448 с. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с. Электронный ресурс:

Слайд 3

Описание слайда:

Содержание лекции §1. Непрерывность функции 1.1. Непрерывность функции в точке и на множестве 1.2. Точки разрыва функции и их классификация §2. Непрерывные функции и их свойства 2.1. Основные теоремы о непрерывных функциях 2.2. Непрерывность элементарных функций 2.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Слайд 4

Описание слайда:

§1. Непрерывность функции 1.1. Непрерывность функции в точке и на множестве Пусть функция y = f(x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки. Df: Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.: = f(x0). (1) Равенство (1) означает выполнение трех условий: Функция f(x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности; Функция f(x) имеет предел при x  x0; Предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполнено равенство (1).

Слайд 5

Описание слайда:

§1. Непрерывность функции (продолжение) Так как = x0, то равенство (1) можно записать в виде: = f() = f(x0). (2) Это означает справедливость следующего утверждения. У т в е р ж д е н и е: При нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком этой функции, т.е. в функцию f(x) вместо аргумента x подставить его предельное значение x0. Пример 1. a) Найти: = = e1 = e. б) Вычислить: A = = = = = ln() = lne = 1.

Слайд 6

Описание слайда:

§1. Непрерывность функции (продолжение) Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции. Df: Пусть функция y = f(x) (рис. 1) определена в некотором интервале (a; b). Возьмем произвольную точку x0  (a; b). Для любого x  (a; b) разность x = x  x0 называется приращением аргумента x в точке x0. Разность соответствующих значений функции y  f(x0) = f(x)  f(x0)  f(x0 + x)  f(x0) называется приращением функции f(x) в точке x0. Рис. 1

Слайд 7

Описание слайда:

§1. Непрерывность функции (продолжение) Запишем равенство (1) в новых обозначениях, с использованием понятий приращения аргумента и функции. Условия x  x0 и x  x0  0 эквивалентны, поэтому требование непрерывности = f(x0) может быть переписано как = 0, или = 0. (3) Df: Функция y = f(x) называется непрерывной в точке в точке x0, если она определена в точке x0 и ее окрестности и выполнено требование непрерывности (3), т.е. бесконечно малому приращению функции соответствует бесконечно малое приращение аргумента. Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо непосредственно определение (1), либо, что часто бывает удобнее, его следствие (3).

Слайд 8

Описание слайда:

§1. Непрерывность функции (продолжение) П р и м е р 2. Доказать непрерывность функции в произвольной точке x0 ее области определения D. (а) y = x2. Решение: Найдем приращение функции в некоторой точке x0  D: y = y(x0 + x)  y(x0) = (x0 + x)2  x02 = = x02 + 2x0x + x2  x02 = 2x0x + x2 0. Вывод: Функция y = x2 непрерывна. (б) y = sin x. Решение: Найдем приращение функции в точке x0  D: y = y(x0 + x)  y(x0) = sin(x0 + x)  sin(x0) = = sin(x0)cos(x) + cos(x0)sin(x)  sin(x0) = = sin(x0)(cos(x)  1) + cos(x0)sin(x) 0. Вывод: Функция y = sin x непрерывна.

Слайд 9

Описание слайда:

§1. Непрерывность функции (продолжение) Df: Функция y = f(x) называется непрерывной в (на) интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Df: Функция y = f(x) называется непрерывной в (на) отрезке [a; b], если она непрерывна в интервале (a; b), а в граничных точках a и b односторонне непрерывна. А именно, в точке a непрерывна справа, т.е. = f(a), а в точке b непрерывна слева, т.е. = f(b). Df: Функция y = f(x) называется непрерывной (в области определения), если она непрерывна в каждой точке x  D области своего определения.

Слайд 10

Описание слайда:

1.2. Точки разрыва функции и их классификация Df: Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если x = x0 – точка разрыва функции y = f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции (см. выр. (1)). А именно, Функция y = f(x) определена в окрестности точки x0, но не определена в самой точке x0. Например, y = . Функция y = f(x) определена в точке x0 и ее окрестности, но не существует предела f(x) в точке x0. Например, y = sgn(x). Функция y = f(x) определена в точке x0 и ее окрестности, существует предел в точке x0, но этот предел не равен значению функции в точке x0:  f(x0). Например, функция y = имеет разрыв в точке x0 = 0.

Слайд 11

Описание слайда:

1.2. Точки разрыва функции и их классификация (продолжение) Все точки разрыва функции классифицируются на точки разрыва первого (I) и второго (II) рода. Df: Точка разрыва x0 называется точкой разрыва первого рода функции y = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. = A1 и = A2. При этом: (а) Если A1 = A2, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва; (б) Если A1  A2, то точка x0 называется точкой конечного (неустранимого) разрыва. Величину |A1  A2| называют скачком функции в точке разрыва первого рода. Df: Точка разрыва x0 называется точкой разрыва второго рода функции y = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Слайд 12

Описание слайда:

1.2. Точки разрыва функции и их классификация (продолжение) Приведем примеры классификации точек разрыва функции (на примере уже упомянутых функций). П р и м е р 3 (а). y(x) = . Рис. 2 Функция y = f(x) определена всюду на числовой оси R за исключением точки x0 = 4. В точке x0 = 4 пределы слева и справа бесконечны: x0 является точкой разрыва II рода.

Слайд 13

Описание слайда:

1.2. Точки разрыва функции и их классификация (продолжение) П р и м е р 3 (б). y(x) = sgn(x). Рис. 3 Функция y = f(x) определена всюду на числовой оси R. В точке x0 = 0 пределы слева и справа существуют, но различны: x0 является точкой (неустранимого) разрыва I рода.

Слайд 14

Описание слайда:

1.2. Точки разрыва функции и их классификация (продолжение) П р и м е р 3 (в). y(x) = . Рис. 4 Функция y = f(x) определена всюду на числовой оси R за исключением точки x0 = 0. В точке x0 = 0 пределы функции слева и справа равны 1: x0 является точкой устранимого разрыва I рода. Доопределение функции делает ее непрерывной: f(x) =

Слайд 15

Описание слайда:

§2. Непрерывные функции и их свойства 2.1. Основные теоремы о непрерывных функциях Теоремы о непрерывности функций прямо вытекают из соответствующих теорем о пределах. Т е о р е м а 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного – за исключением тех значений аргумента, в которых ее делитель равен нулю). Более строго: Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны в области D. Тогда и функции f(x)  g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (g(x)  0) также непрерывны в области D. Доказательство: Докажем теорему, например, для случая произведения непрерывных функций. С учетом непрерывности функций f(x) и g(x) по теореме о пределе произведения имеем: =  = f(x0)g(x0), ч.т.д.

Слайд 16

Описание слайда:

2.1. Основные теоремы о непрерывных функциях (продолжение) Т е о р е м а 2. Суперпозиция двух непрерывных функций есть функция непрерывная. Более строго: Пусть функция u = (x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = (x0). Тогда сложная функция f((x)), являющаяся суперпозицией непрерывных функций непрерывна в точке x0. Доказательство: В силу непрерывности функции u = (x), = (x0) = u0, т.е. при x  x0 имеем u  u0. Поэтому вследствие непрерывности функции y = f(u) имеем: = = f(u0) = f((x0)). Это и доказывает, что сложная функция y = f((x)) непрерывна в точке x0, ч.т.д.

Слайд 17

Описание слайда:

2.1. Основные теоремы о непрерывных функциях (продолжение) Т е о р е м а 3. Функция, обратная к непрерывной функции, есть функция непрерывная. Более строго: Пусть функция y = f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке [a; b] оси Ox. Тогда обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c; d] оси Oy. Доказательство: (без доказательства). В примере 2 установлено, что функция y = sin x непрерывна. Следовательно, непрерывной функций будет и обратная к синусу функция y = arcsin x во всей области своего определения (D: 1  x  1). Подобным же образом непрерывны в области своего определения D функции arccos x, arctg x, arcctg x.

Слайд 18

Описание слайда:

2.2. Непрерывность элементарных функций Df: Элементарной функцией называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Т е о р е м а 4. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Доказательство: (без доказательства). Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, в которых они определены. Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.

Слайд 19

Описание слайда:

2.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке Т е о р е м а 5 (Вейерштрасс). Если функция определена и непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Доказательство: (без доказательства). Рис. 5 Изображенная на рис. 5 функция непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на нем свое наименьшее (m) и наибольшее (M) значения. С л е д с т в и е . Если функция определена и непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на нем.

Слайд 20

Описание слайда:

2.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке Т е о р е м а 6 (Больцано  Коши). Если функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A и f(b) = B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между A и B. Доказательство: (без доказательства). Рис. 6 Изображенная на рис. 6 функция непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на нем все промежуточные значения между A = f(a) и B = f(b) значения, т.е. для всякого A  C  B найдется точка с  [a; b]: f(c) = C.

Слайд 21

Описание слайда:

2.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке С л е д с т в и е из теоремы 6. Если функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах f(a) = A и f(b) = B разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция обращается в нуль: f(c) = 0. Данный результат используется при нахождении корней алгебраических и трансцендентных уравнений, например, методом деления отрезка пополам или другим аналогичным методом. П р и м е р 4. Найти с точностью  < 104 (с точностью до 4-х знаков после запятой) все корни уравнения: x3 = x + 1.

Слайд 22

Описание слайда:

2.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке (продолжение) П р и м е р 4. Найти с точностью  < 104 (с точностью до 4-х знаков после запятой) все корни уравнения: x3 = x + 1. Рис. 7 Графики: (а) y1(x) = x3 и y2(x) = x + 1; (б) y(x) = y1(x)  y2(x). Корень уравнения x3 = x + 1 есть x0 = 1,32472.