Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4)

Нажмите для полного просмотра!

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №2

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №3

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №4

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №5

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №6

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №7

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №8

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №9

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №10

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №11

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №12

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №13

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №14

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №15

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №16

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №17

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №18

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №19

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №20

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №21

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №22

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №23

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №24

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №25

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №26

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №27

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №28

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №29

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №30

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №31

Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4), слайд №32

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4). Доклад-сообщение содержит 32 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла Лекция № 4

Слайд 2

Описание слайда:

Несобственные интегралы. Несобственный интеграл I - ого рода (с бесконечными пределами интегрирования). Опр. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; +). Несобственным интегралом первого рода от функции f(x) на промежутке [a; +) называется предел если он существует и конечен. Обозначается несобственный интеграл символом

Слайд 3

Описание слайда:

Несобственные интегралы. Вводя понятие определенного интеграла, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Рассмотрим случаи, когда хотя бы одно из этих условий не выполняется.

Слайд 4

Описание слайда:

Несобственные интегралы. Если непрерывная функция на промежутке [a; +) и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Слайд 5

Описание слайда:

Несобственные интегралы. Если указанный предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся. Аналогичным образом определяются еще два вида несобственных интегралов первого рода: где – произвольное число. В этом случае интеграл сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Слайд 6

Описание слайда:

Пример Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость Решение. По определению имеем Ответ: интеграл сходится.

Слайд 7

Описание слайда:

Пример Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а) = = | = = ⎼ | = ⎼ ⎼ 1) = 1, интеграл сходится. б) = | = ) = ⎼ , но предел не существует, значит, интеграл расходится.

Слайд 8

Описание слайда:

Пример Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: в) = = | = = ⎼ ) = = значит, интеграл расходится. = = Если , то интеграл сходится. Если , то интеграл расходится.

Слайд 9

Описание слайда:

Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода. Первый признак сравнения. Теорема 1. Если на промежутке [a; +) непрерывные функции и g удовлетворяют условию ≤ g, то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла . Пример. . Решение. Сравним: < при 1 ≤ ≤ . Так как сходится, то сходится и искомый интеграл по признаку сравнения.

Слайд 10

Описание слайда:

Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода. Второй признак сравнения. Теорема 2. Если существует предел = k (0 0 и g > 0), то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся.

Слайд 11

Описание слайда:

2) Несобственные интегралы II - ого рода (интегралы от неограниченных (разрывных) функций). Опр. Пусть функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a; b) и имеет бесконечный разрыв при = b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом II - ого рода и обозначают . Таким образом, по определению, =

Слайд 12

Описание слайда:

Несобственные интегралы II - ого рода (интегралы от неограниченных (разрывных) функций). Аналогично: 1) если функция f(x) терпит разрыв в точке = a, то полагают = 2) если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a; bинтеграл II - ого рода определяется формулой = Пример. Вычислить . Решение: Решение.

Слайд 13

Описание слайда:

Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода. Первый признак сравнения. Теорема 1. Если на полуинтервале [a; b) функции и g непрерывны, удовлетворяют условию ≤ g и при = b терпят бесконечный разрыв. Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Слайд 14

Описание слайда:

Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода. Второй признак сравнения. Теорема 2. Пусть функции и g непрерывны на полуинтервале [a; b) и терпят разрыв в точке = b. Если существует предел = k (0 0 и g > 0), то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся.

Слайд 15

Описание слайда:

Пример. Установить сходимость интеграла: . Решение. Интеграл расходится:

Слайд 16

Описание слайда:

Пример. Вычислить или установить расходимость интеграла – число. Решение. = - особая точка. = = = ) = = Аналогично: 1) интеграл сходится при и расходится при

Слайд 17

Описание слайда:

Пример. Интеграл расходится, так как Интеграл сходится, так как . Интеграл (= = 0 – точка разрыва, > 0) расходится при и сходится при .

Слайд 18

Описание слайда:

Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. а) в прямоугольных координатах: Если непрерывная кривая задана уравнением и ≥ 0, то площадь фигуры равна S = Если < 0, то площадь фигуры равна S = ⎼ Или две формулы можно объединить в одну: S = |

Слайд 19

Описание слайда:

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции при Решение. S = + = ⎼ = ⎼ ( ⎼ ) + ( ⎼ ) = (кв. ед.).

Слайд 20

Описание слайда:

Геометрические приложения определенного интеграла. Если фигура ограничена сверху кривой , а снизу – кривой , где ≤ , то площадь фигуры равна S =

Слайд 21

Описание слайда:

Площадь плоской фигуры Если криволинейная трапеция ограничена прямыми с, d, осью Ои непрерывной кривой = ), где ) ≥ 0, то площадь равна S =

Слайд 22

Описание слайда:

Площадь плоской фигуры Если кривая задана параметрическими уравнениями = (t), (t), t [α; β], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми = , = и отрезком [; ] оси Овыражается формулой где α и β определяются из равенств: (α) = , (β) = .

Слайд 23

Описание слайда:

Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом = , Решение. Найдем сначала S. Так как 0 ≤ ≤ , то ≤ ≤ 0. Найдем () = ⎼ . Тогда S = ⎼ = ⎼ = = ⎼ =⎼ ( ⎼ ) = =⎼ (⎼ ⎼ 0) = S = .

Слайд 24

Описание слайда:

Площадь плоской фигуры б) в полярных координатах: Площадь криволинейного сектора, ограниченного непрерывной кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = r(φ) и двумя лучами φ = и φ = ( < ) находится по формуле: S = , где = – дифференциал равен площади кругового сектора ОАС радиуса r с центральным углом φ.

Слайд 25

Описание слайда:

II. Вычисление дуги плоской кривой а) в прямоугольных координатах Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена стремится к нулю. Если кривая на отрезке [a; b] гладкая (т.е. ее производная непрерывна), то длина дуги этой кривой равна:

Слайд 26

Описание слайда:

II. Вычисление дуги плоской кривой б) Если уравнение кривой АВ задано параметрическими уравнениями = (t), (t), t [α; β], где (t) и (t) – непрерывные функции с непрерывными производными и (α) = , (β) = , то длина дуги равна в) Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением r = r(φ), где ≤φ ≤, то длина дуги равна

Слайд 27

Описание слайда:

III. Вычисление объема тела

Слайд 28

Описание слайда:

III. Вычисление объема тела (1) Пример.

Слайд 29

Описание слайда:

Пример Найти длину кривой от = 0 до = 1 ( ≥ 0).

Слайд 30

Описание слайда:

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой = 2. Решение.

Слайд 31

Описание слайда:

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми = 0, = 1 и осью О. Решение. S =⎼

Слайд 32

Описание слайда:

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение. Найдем точки пересечения графиков заданных функций: = , откуда = 1, = 2. Искомая площадь: S =