Основные понятия теории вероятностей - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Основные понятия теории вероятностей, слайд №1

Основные понятия теории вероятностей, слайд №2

Основные понятия теории вероятностей, слайд №3

Основные понятия теории вероятностей, слайд №4

Основные понятия теории вероятностей, слайд №5

Основные понятия теории вероятностей, слайд №6

Основные понятия теории вероятностей, слайд №7

Основные понятия теории вероятностей, слайд №8

Основные понятия теории вероятностей, слайд №9

Основные понятия теории вероятностей, слайд №10

Основные понятия теории вероятностей, слайд №11

Основные понятия теории вероятностей, слайд №12

Основные понятия теории вероятностей, слайд №13

Основные понятия теории вероятностей, слайд №14

Основные понятия теории вероятностей, слайд №15

Основные понятия теории вероятностей, слайд №16

Основные понятия теории вероятностей, слайд №17

Основные понятия теории вероятностей, слайд №18

Основные понятия теории вероятностей, слайд №19

Основные понятия теории вероятностей, слайд №20

Основные понятия теории вероятностей, слайд №21

Основные понятия теории вероятностей, слайд №22

Основные понятия теории вероятностей, слайд №23

Основные понятия теории вероятностей, слайд №24

Основные понятия теории вероятностей, слайд №25

Основные понятия теории вероятностей, слайд №26

Основные понятия теории вероятностей, слайд №27

Основные понятия теории вероятностей, слайд №28

Основные понятия теории вероятностей, слайд №29

Основные понятия теории вероятностей, слайд №30

Основные понятия теории вероятностей, слайд №31

Основные понятия теории вероятностей, слайд №32

Основные понятия теории вероятностей, слайд №33

Основные понятия теории вероятностей, слайд №34

Основные понятия теории вероятностей, слайд №35

Основные понятия теории вероятностей, слайд №36

Основные понятия теории вероятностей, слайд №37

Основные понятия теории вероятностей, слайд №38

Основные понятия теории вероятностей, слайд №39

Основные понятия теории вероятностей, слайд №40

Основные понятия теории вероятностей, слайд №41

Основные понятия теории вероятностей, слайд №42

Основные понятия теории вероятностей, слайд №43

Основные понятия теории вероятностей, слайд №44

Основные понятия теории вероятностей, слайд №45

Основные понятия теории вероятностей, слайд №46

Основные понятия теории вероятностей, слайд №47

Основные понятия теории вероятностей, слайд №48

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Основные понятия теории вероятностей. Доклад-сообщение содержит 48 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Теория вероятностей и математическая статистика Основные понятия теории вероятностей

Слайд 2

Описание слайда:

Элементарные исходы Пространством элементарных исходов Ω называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой ω.

Слайд 3

Описание слайда:

Событиями мы будем называть некоторые наборы элементарных исходов, то есть подмножества множества Ω. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие A, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество.

Слайд 4

Описание слайда:

Пример Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, где элементарное событие i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {5, 6}.

Слайд 5

Описание слайда:

Дискретное пространство Пространство элементарных исходов назовём дискретным, если оно конечно или счётно. Множество счётно, если существует взаимно-однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных чисел. Счётными множествами являются, например, множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество чётных чисел и т.д. Множество конечно, если оно состоит из конечного числа элементов.

Слайд 6

Описание слайда:

События в дискретном пространстве Ω Определение Произвольные подмножества дискретного пространства элементарных исходов Ω называются событиями. ВАЖНО: Если Ω конечно или счётно, то любое подмножество Ω может являться событием.

Слайд 7

Описание слайда:

В пространстве элементарных событий Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } любой набор исходов ─ событие. Например, {1, 3, 4, 5} или { 6 }.

Слайд 8

Описание слайда:

Замечание Пустое множество  и все множество  тоже являются событиями. Событие  называется невозможным событием, событие  – достоверным событием.

Слайд 9

Описание слайда:

Элементарные события Достоверное событие  наступает при любом исходе. Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда. Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда.

Слайд 10

Описание слайда:

Пример Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие. Выпадение не более шести очков - достоверное событие. Выпадение от трех до пяти очков - случайное событие.

Слайд 11

Описание слайда:

Определения События называются равными (A1 = A2), если множества составляющих их исходов совпадают: События A1 и A2 называются несовместными, если их множества элементарных исходов не пересекаются.

Слайд 12

Описание слайда:

Пример Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}. Событие C - выпадение нечетного числа очков, C = {1, 3, 5}. A и C несовместны.

Слайд 13

Описание слайда:

Комбинации событий Рассмотрим комбинации событий, такие, как сумма, произведение, разность и т.д. Поскольку события – это множества исходов, будем использовать соответствующие определения для множеств. Сумма событий соответствует объединению множеств, произведение событий соответствует пересечению множеств и т.д.

Слайд 14

Описание слайда:

Сумма (объединение) событий Суммой или объединением событий A1 и A2 называют событие A, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A1 или A2 Аналогично определяется

Слайд 15

Описание слайда:

Пример Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}. Событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {5, 6}. Событие A + B = {2, 4, 5, 6} состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A, либо событие B.

Слайд 16

Описание слайда:

Произведение (пересечение) событий Произведением или пересечением событий A1 и A2 называют событие A, состоящее в осуществлении и события A1 и события A2 Аналогично определяется

Слайд 17

Описание слайда:

Пример В условиях предыдущего примера: Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}. Событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {5, 6}. Событие A B = {6} состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошло и событие A, и событие B.

Слайд 18

Описание слайда:

Разность событий Разностью событий A1 и A2 называют событие A, состоящее в том, что событие A1 осуществилось, а событие A2 – нет.

Слайд 19

Описание слайда:

Пример В условиях предыдущего примера: Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}. Событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {5, 6}. Событие A\ B = {2, 4} состоит в том, что выпало четное число очков не большее четырех, т.е. произошло событие A, не произошло событие B.

Слайд 20

Описание слайда:

Противоположное событие Противоположным событием к событию A называют событие состоящее в том, что событие A не произошло.

Слайд 21

Описание слайда:

Пример В условиях предыдущего примера: Событие A - выпадение четного числа очков, A = {2, 4, 6}. Событие = {1, 3, 5} состоит в том, что выпало нечетное число очков, т.е. не произошло событие A.

Слайд 22

Описание слайда:

Свойства операций над событиями

Слайд 23

Описание слайда:

Слайд 24

Описание слайда:

Пример Доказать свойство дистрибутивности умножения относительно сложения Решение Докажем, что событие тождественно событию Пусть Это означает, что и принадлежит по крайней мере одному из событий А или В. Но тогда принадлежит хотя бы одному из событий АС или ВС, т.е. . Наоборот, пусть , тогда принадлежит хотя бы одному из событий АС или ВС. Следовательно, и кроме того, принадлежит по крайней мере одному из событий А или В, т.е.

Слайд 25

Описание слайда:

Вероятность в классическом пространстве Классическая вероятность может быть записана как где значок |A| обозначает число элементов в множестве A (благоприятных исходов).

Слайд 26

Описание слайда:

Пример Описать пространство Ω элементарных исходов в случае бросания двух игральных костей. Решение Элементарным исходом служит упорядоченная пара чисел ω = (i, j), где i – число очков на первой кости, j – число очков на второй кости.

Слайд 27

Описание слайда:

Решение (продолжение)

Слайд 28

Описание слайда:

Найти вероятность события A={суммарное число выпавших очков равно 6}.

Слайд 29

Описание слайда:

По-другому этот результат можно получить, если сложить вероятности элементарных исходов

Слайд 30

Описание слайда:

Замечание. Вероятность, вычисленная в этом примере, была найдена с помощью классического определения вероятности. Но классическое определение можно применять только если исходы равновозможны. А определение (*) можно применять и при неравновозможных исходах.

Слайд 31

Описание слайда:

Проблема! Но множество исходов не обязательно конечно или счетно. Пусть, например, опыт состоит в выборе точки из отрезка [0, 1]. Исходом является любая точка, а множество точек отрезка несчетно. Как ввести вероятность в этом случае?

Слайд 32

Описание слайда:

Аксиоматическое определение вероятности Определение Вероятность события есть числовая функция P(A), удовлетворяющая аксиомам:

Слайд 33

Описание слайда:

Свойства вероятности

Слайд 34

Описание слайда:

Проблема! Если  несчетно, то не всякое подмножество  является событием. А какие же подмножества являются событиями? Ответ: только такие, которые входят в так называемые –алгебры.

Слайд 35

Описание слайда:

 – алгебра Определение F называется  –алгеброй, если

Слайд 36

Описание слайда:

Пример 1. {, }. 2. {, A, Ā, }, где A – некоторое подмножество .

Слайд 37

Описание слайда:

Аксиоматика Колмогорова Определение Вероятностным пространством называется тройка (, F, P), где  – пространство элементарных событий, F – –алгебра подмножеств множества , P – вероятностная мера, заданная на F.

Слайд 38

Описание слайда:

Геометрическое вероятностное пространство

Слайд 39

Описание слайда:

Эксперимент состоит в случайном выборе точки из ограниченного множества ; F – система подмножеств , у которых существует мера (длина, площадь, объем и т.д. ); где ||A|| – мера множества A.

Слайд 40

Описание слайда:

Пример Точка наудачу бросается на отрезок [0;1]. Вероятность точке попасть в отрезок [0,1; 0,5] равна 4/10 = 0,4. (Почему?) А чему равна вероятность точке попасть в полуоткрытый интервал [0,1; 0,5)? Тоже 4/10 = 0,4.

Слайд 41

Описание слайда:

Пример Вероятность точке попасть в точку {0,5} равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0. Вместе с тем попадание в точку {0,5} не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента.

Слайд 42

Описание слайда:

Пример (Задача о встрече) Два лица X и Y условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Слайд 43

Описание слайда:

Решение Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть  и  – моменты прихода X и Y (точки отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента – множество точек квадрата со стороной 1:

Слайд 44

Описание слайда:

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества A={(,): | – | 1/6} То есть попадание в множество A наудачу брошенной в квадрат точки означает, что X и Y встретятся. Тогда вероятность встречи равна

Слайд 45

Описание слайда:

Задача Бюффона На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена игла длины 2ℓ

Слайд 46

Описание слайда:

Решение Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого –либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга.

Слайд 47

Описание слайда:

Обозначим через x[0,a] расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а через [0,] – угол между каким –то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника  = [0,a]x[0,]. Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: x  ℓ•sin .