🗊Презентация Теорія ймовірності

Елементарні задачі, які були віднесені до стохастики, тобто до комбінаторики, теорії ймовірностей та математичної статистики, ставилися й розв'язувалися ще в часи Стародавнього Єгипту, Греції та Риму. Елементарні задачі, які були віднесені до стохастики, тобто до комбінаторики, теорії ймовірностей та математичної статистики, ставилися й розв'язувалися ще в часи Стародавнього Єгипту, Греції та Риму.

Давньогрецький філософ Епікур вважав , що випадок притаманний самій природі явищ, і, отже , випадковість об’єктивна.

Період так званої передісторії Період так званої передісторії теорії ймовірностей закінчився ще в ХVIст. працями італійських математиків:

У ХVII- XVIIIст. питаннями теорії ймовірностей цікавилися французькі математики: У ХVII- XVIIIст. питаннями теорії ймовірностей цікавилися французькі математики:

Даніел Бернуллі

Велику роль у розповсюдженні ідей теорії ймовірностей та математичної статистики в Росії та Україні відіграли видатні російські математики українського походження: Велику роль у розповсюдженні ідей теорії ймовірностей та математичної статистики в Росії та Україні відіграли видатні російські математики українського походження:

В.Я. БУНЯКОВСЬКИЙ

Російські математики П.Л.Чебишов та А.А.Марков Уточнили основні положення теорії ймовірності та провели багато досліджень в даній галузі

Дійсно вирішальним етапом розвитку теорії ймовірностей стала праця А.М. Колмогорова “Основні поняття теорії ймовірності”(1937 рік), у якій він виклав свою аксіоматику і після якої, теорія ймовірності стала рівноправною математичною дисципліною.

Теорія ймовірностей вивчає масові випадкові події, які характеризуються стійкою частотою їх появи. Випадковою подією в теорії ймовірності називають всякий факт, який в результаті досліду (спостереження) може відбутися або не відбутися. Різні випадкові події позначаються латинськими буквами А, В, С… .

Події позначають великими латинськими буквами А, В, С тощо. Оскільки кожна подія є деякою множиною, то її можна задати переліком її елементів – елементарних подій, або словесно – описанням характеристичної властивості її елементів. Кожну елементарну подію е, з яких складається подія А, називають елементарною подією, що сприяє події А і позначають е  А. Усі інші елементарні події е вважаються такими, що не сприяють події А і позначають е  А. Наприклад, в експерименті з підкиданням грального кубика події А  2, 4, 6 («випала парна кількість очок») сприяє три елементарних події: 2, 4 і 6, а 1, 3 і 5 не сприяють події А.

Якщо в результаті випробування відбулася елементарна подія е, що сприяє події А (е  А), то кажуть, що в результаті цього випробування подія А відбулася; якщо в результаті випробування не відбулася жодна елементарна подія е  А, то кажуть, що в результаті цього випробування подія А не відбулася. Простір  елементарних подій є початковою математичною моделлю стохастичного експерименту.

Вірогідна та неможлива події Подія  – множина усіх можливих наслідків експерименту. В результаті кожного випробування подія  обов’язково відбудеться. Тому подію  називають вірогідною (або достовірною Інакше, вірогідною є подія, яка відбувається в результаті кожного випробування, пов’язаного з даним стохастичним експериментом. Подія  не містить жодної елементарної події е з множини , тому вона ніколи не може відбутися в результаті проведення експерименту. Подію  називають неможливою. Інакше кажучи, неможливою є подія, яка не може відбутися в результаті будь-якого випробування, пов’язаного з даним стохастичним експериментом.

Рівні події Якщо подія В відбувається завжди, коли відбувається подія А, то пишуть    і кажуть, подія В спричинюється подією А або подія А спричинює подію В. Це означає, що кожна елементарна подія е, що сприяє події А (е  А), сприяє також і події В (е  В). Якщо подія А спричинює подію В і подія В спричинює подію А (   і В  А), то події А і В називають рівними, або рівносильними, або еквівалентними і записують А = В. Це означає, що кожна елементарна подія, що сприяє події А, сприяє також і події В, та навпаки, кожна елементарна подія, що сприяє події В, сприяє також і події А. Інакше, події А і В рівні тоді і тільки тоді, коли вони одночасно відбуваються або не відбуваються.

Статистична ймовірність події Нехай дано експеримент і визначено простір елементарних подій  та простір подій S. Для цього експерименту проведено n випробувань і при цьому фіксована елементарна подія е   відбулася m раз, 0 ≤ т ≤ n. Число m випробувань, у яких відбулася елементарна подія е називається її абсолютною частотою, а відношення m до n називається відносною частотою елементарної події е в даній серії з n випробувань. Відносна частота елементарної події е характеризує середню можливість її відбування у кожному з n випробувань. Позначається і обчислюється за формулою

Визначення ймовірності події За умови рівноможливості елементарних подій, що утворюють простір , ймовірність будь-якої події А обчислюється за формулою де k – кількість елементарних подій, що сприяють події А, т – кількість усіх елементарних подій простору . Обчислення ймовірностей за вказаним правилом називають обчисленням ймовірності події за класичною схемою.

Задачі У перукарню зайшло 6 клієнтів віком 16, 18, 19, 27, 30 та 36 років. Яка ймовірність того, що перший клієнт, який сяде у крісло буде віком : А) 19 років; Б) 40 років? Для моделювання зачіски потрібно використати 50 заколок 20 невидимок та 30 шпильок. Яка ймовірність того, що вибрана навмання заколка виявиться шпилькою? У групі перукарів навчається 30 дівчат. З них: 2 блондинки, 15 брюнеток, 5 шатенок, решта – русяві. Яка ймовірність того, що дівчина, яка зайде в клас буде шатенкою?