🗊 Презентация Теория вероятностей и математическая статистика

Категория: Образование
Нажмите для полного просмотра!
Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №1 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №2 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №3 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №4 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №5 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №6 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №7 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №8 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №9 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №10 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №11 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №12 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №13 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №14 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №15 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №16 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №17 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №18 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №19 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №20 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №21 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №22 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №23 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №24 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №25 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №26 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №27 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №28 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №29 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №30 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №31 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №32 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №33 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №34 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №35 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №36 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №37 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №38 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №39 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №40 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №41 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №42 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №43 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №44 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №45 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №46 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №47 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №48 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №49 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №50 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №51 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №52 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №53 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №54 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №55 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №56 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №57 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №58 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №59 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №60 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №61 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №62 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №63 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №64 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №65 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №66 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №67 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №68 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №69 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №70 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №71 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №72 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №73 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №74 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №75 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №76 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №77 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №78 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №79 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №80 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №81 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №82 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №83 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №84 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №85 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №86 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №87 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №88 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №89 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №90 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №91 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №92 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №93 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №94 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №95 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №96 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №97 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №98 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №99 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №100 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №101 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №102 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №103 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №104 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №105 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №106 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №107 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №108 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №109 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №110 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №111 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №112 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №113 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №114 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №115 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №116 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №117 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №118 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №119 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №120 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №121 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №122 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №123 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №124 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №125 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №126 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №127 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №128 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №129 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №130 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №131 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №132 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №133 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №134 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №135 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №136 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №137 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №138 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №139 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №140 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №141 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №142 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №143 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №144 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №145 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №146 Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №147
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Теория вероятностей и математическая статистика. Доклад-сообщение содержит 147 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Теория вероятностей и математическая статистика Для студентов Института экономики СФУ 2011 Т.В. Крупкина
Описание слайда:
Теория вероятностей и математическая статистика Для студентов Института экономики СФУ 2011 Т.В. Крупкина

Слайд 2


Лекция 1. Введение в теорию вероятностей Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений, то есть разработка и...
Описание слайда:
Лекция 1. Введение в теорию вероятностей Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений, то есть разработка и применение математического аппарата для изучения явлений, имеющих случайную природу. Главным обстоятельством, которое определяет границы применимости теории вероятностей, является наличие у изучаемых явлений свойства «статистической устойчивости».

Слайд 3


Равновозможные исходы Рассмотрим некоторый опыт с конечным числом n всевозможных взаимоисключающих друг друга исходов, которые являются...
Описание слайда:
Равновозможные исходы Рассмотрим некоторый опыт с конечным числом n всевозможных взаимоисключающих друг друга исходов, которые являются равновозможными. Пусть А – некоторое событие, связанное с этим исходом. Вероятность p(A) можно определить, как долю тех исходов, в результате которых это событие осуществляется.

Слайд 4


Классическое определение вероятности Пусть n – число всех исходов, n(A) – число благоприятных исходов, в результате которых осуществляется событие A.
Описание слайда:
Классическое определение вероятности Пусть n – число всех исходов, n(A) – число благоприятных исходов, в результате которых осуществляется событие A.

Слайд 5


Формулы комбинаторики Число перестановок Число перестановок из n элементов равно
Описание слайда:
Формулы комбинаторики Число перестановок Число перестановок из n элементов равно

Слайд 6


Выбор без возвращения Число размещений С помощью этой формулы можно подсчитать, сколько существует различных способов выбрать и разместить по...
Описание слайда:
Выбор без возвращения Число размещений С помощью этой формулы можно подсчитать, сколько существует различных способов выбрать и разместить по различным местам k из n различных элементов. Формула числа размещений имеет вид:

Слайд 7


Выбор без возвращения Число сочетаний С помощью этой формулы можно подсчитать, сколько существует различных способов выбора из n элементов k, не...
Описание слайда:
Выбор без возвращения Число сочетаний С помощью этой формулы можно подсчитать, сколько существует различных способов выбора из n элементов k, не учитывая порядок элементов в выбранной последовательности. Формула числа сочетаний имеет вид:

Слайд 8


Статистическое определение вероятности Пусть рассматриваемый опыт можно повторять многократно, и пусть N – число всех повторений опыта, а N(А) –...
Описание слайда:
Статистическое определение вероятности Пусть рассматриваемый опыт можно повторять многократно, и пусть N – число всех повторений опыта, а N(А) – число тех из них, в которых осуществлялось событие А. Отношение N(А)/N называется частотой события А в данной серии испытаний.

Слайд 9


Статистическое определение вероятности Практика показывает, что для многих событий частота при больших п мало меняется, колеблясь около некоторого...
Описание слайда:
Статистическое определение вероятности Практика показывает, что для многих событий частота при больших п мало меняется, колеблясь около некоторого постоянного значения P*, которое можно назвать статистической вероятностью события А,

Слайд 10


Лекция 2. Основания теории вероятностей Пространством элементарных исходов Ω называется множество, содержащее все возможные результаты данного...
Описание слайда:
Лекция 2. Основания теории вероятностей Пространством элементарных исходов Ω называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой ω.

Слайд 11


Событиями мы будем называть некоторые наборы элементарных исходов, то есть подмножества множества Ω. Говорят, что в результате эксперимента произошло...
Описание слайда:
Событиями мы будем называть некоторые наборы элементарных исходов, то есть подмножества множества Ω. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие A, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество.

Слайд 12


Элементарные события Достоверное событие  наступает при любом исходе. Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не...
Описание слайда:
Элементарные события Достоверное событие  наступает при любом исходе. Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда. Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда.

Слайд 13


Комбинации событий Рассмотрим комбинации событий, такие, как сумма, произведение, разность и т.д. Поскольку события – это множества исходов, будем...
Описание слайда:
Комбинации событий Рассмотрим комбинации событий, такие, как сумма, произведение, разность и т.д. Поскольку события – это множества исходов, будем использовать соответствующие определения для множеств. Сумма событий соответствует объединению множеств, произведение событий соответствует пересечению множеств и т.д.

Слайд 14


Сумма (объединение) событий Суммой событий A1 и A2 называют событие A, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A1 или A2: Аналогично...
Описание слайда:
Сумма (объединение) событий Суммой событий A1 и A2 называют событие A, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A1 или A2: Аналогично определяется

Слайд 15


Противоположное событие Противоположным событием к событию A называют событие состоящее в том, что событие A не произошло:
Описание слайда:
Противоположное событие Противоположным событием к событию A называют событие состоящее в том, что событие A не произошло:

Слайд 16


Вероятность в дискретном пространстве Чтобы определить вероятность любого события на дискретном пространстве элементарных исходов, достаточно...
Описание слайда:
Вероятность в дискретном пространстве Чтобы определить вероятность любого события на дискретном пространстве элементарных исходов, достаточно присвоить вероятность каждому элементарному исходу. Тогда вероятность любого события определяется как сумма вероятностей входящих в него элементарных исходов.

Слайд 17


Несчетное множество исходов Но множество исходов не обязательно конечно или счетно. Пусть, например, опыт состоит в выборе точки из отрезка [0, 1]....
Описание слайда:
Несчетное множество исходов Но множество исходов не обязательно конечно или счетно. Пусть, например, опыт состоит в выборе точки из отрезка [0, 1]. Исходом является любая точка, а множество точек отрезка несчетно. Как ввести вероятность в этом случае? Ответ дает аксиоматика Колмогорова.

Слайд 18


Аксиоматическое определение вероятности Вероятность события есть числовая функция P(A), удовлетворяющая аксиомам:
Описание слайда:
Аксиоматическое определение вероятности Вероятность события есть числовая функция P(A), удовлетворяющая аксиомам:

Слайд 19


Лекция 3. Исчисление вероятностей Определение События A и B называются независимыми, если
Описание слайда:
Лекция 3. Исчисление вероятностей Определение События A и B называются независимыми, если

Слайд 20


Условная вероятность Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число Считают, что условная вероятность...
Описание слайда:
Условная вероятность Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число Считают, что условная вероятность определена только в случае, когда P(B) > 0.

Слайд 21


Теорема сложения
Описание слайда:
Теорема сложения

Слайд 22


Теорема умножения для двух событий если соответствующие условные вероятности определены (то есть если P(A) > 0, P(B) > 0). Доказательство следует из...
Описание слайда:
Теорема умножения для двух событий если соответствующие условные вероятности определены (то есть если P(A) > 0, P(B) > 0). Доказательство следует из определения условной вероятности.

Слайд 23


Теорема (формула полной вероятности) Пусть A – случайное событие, H1, H2, …, Hn – полная группа событий (гипотезы), Тогда вероятность события А может...
Описание слайда:
Теорема (формула полной вероятности) Пусть A – случайное событие, H1, H2, …, Hn – полная группа событий (гипотезы), Тогда вероятность события А может быть вычислена по формуле:

Слайд 24


Теорема (формула Байеса) Пусть A – случайное событие, H1, H2, …, Hn – полная группа событий (гипотезы), Тогда условная вероятность того, что имело...
Описание слайда:
Теорема (формула Байеса) Пусть A – случайное событие, H1, H2, …, Hn – полная группа событий (гипотезы), Тогда условная вероятность того, что имело место событие Hk, если наблюдалось событие А, может быть вычислена по формуле:

Слайд 25


Лекция 4. Схемы испытаний Схемой испытаний Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода...
Описание слайда:
Лекция 4. Схемы испытаний Схемой испытаний Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью p, а «неудача» — с вероятностью q = 1 – p.

Слайд 26


Теорема (формула Бернулли) Обозначим через m число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда
Описание слайда:
Теорема (формула Бернулли) Обозначим через m число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда

Слайд 27


Предельные теоремы для схемы Бернулли При числе испытаний, превышающем 20, вычисление точного значения Pn(m) затруднительно. В этих случаях применяют...
Описание слайда:
Предельные теоремы для схемы Бернулли При числе испытаний, превышающем 20, вычисление точного значения Pn(m) затруднительно. В этих случаях применяют приближенные формулы, вытекающие из предельных теорем. Различают два случая: когда р мало, используют приближение Пуассона, когда р не мало (и не очень близко к единице), справедливо приближение Муавра –Лапласа.

Слайд 28


Теорема Пуассона Если при n  , р  0 так, что np  , 0 <  < , то для любого фиксированного mN справедливо:
Описание слайда:
Теорема Пуассона Если при n  , р  0 так, что np  , 0 <  < , то для любого фиксированного mN справедливо:

Слайд 29


Приближенная формула Пуассона где  = np. Приближенную формулу Пуассона применяют при n > 30, р < 0.1, 0.1 <  = np < 10.
Описание слайда:
Приближенная формула Пуассона где  = np. Приближенную формулу Пуассона применяют при n > 30, р < 0.1, 0.1 <  = np < 10.

Слайд 30


Локальная приближенная формула Муавра –Лапласа
Описание слайда:
Локальная приближенная формула Муавра –Лапласа

Слайд 31


График биномиальных вероятностей при n=30, p=0,2 и график φ(X)
Описание слайда:
График биномиальных вероятностей при n=30, p=0,2 и график φ(X)

Слайд 32


Свойства функции (x)
Описание слайда:
Свойства функции (x)

Слайд 33


Интегральная приближенная формула Муавра –Лапласа
Описание слайда:
Интегральная приближенная формула Муавра –Лапласа

Слайд 34


Свойства функции Ф(x)
Описание слайда:
Свойства функции Ф(x)

Слайд 35


Лекция 5. Дискретные случайные величины Пусть есть случайный эксперимент,  ─ пространство элементарных событий. Определение Случайной величиной ...
Описание слайда:
Лекция 5. Дискретные случайные величины Пусть есть случайный эксперимент,  ─ пространство элементарных событий. Определение Случайной величиной  называется функция, отображающая  в R. :   R (То есть  = (ω)). Смысл: случайная величина – это числовая функция, принимающая значения случайным образом.

Слайд 36


Дискретные распределения Случайная величина  имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений. Значения: a1,...
Описание слайда:
Дискретные распределения Случайная величина  имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений. Значения: a1, a2,…, Вероятности значений: pi = P( = ai) > 0

Слайд 37


Ряд распределения Если случайная величина  имеет дискретное распределение, то рядом распределения называется соответствие ai pi, которое имеет вид :
Описание слайда:
Ряд распределения Если случайная величина  имеет дискретное распределение, то рядом распределения называется соответствие ai pi, которое имеет вид :

Слайд 38


Биномиальное распределение B(n, p) Случайная величина  имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0  p  1, если  принимает...
Описание слайда:
Биномиальное распределение B(n, p) Случайная величина  имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0  p  1, если  принимает значения 0, 1, 2, …n с вероятностями P{ = k} = Cnk pk q n –k. Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p.

Слайд 39


Пример Распределение вероятностей биномиально распределенной случайной величины для n = 10 и p = 0.2
Описание слайда:
Пример Распределение вероятностей биномиально распределенной случайной величины для n = 10 и p = 0.2

Слайд 40


Распределение Пуассона P Сл. в.  имеет распределение Пуассона с параметром , где >0, если  принимает значения 0, 1, 2,… с вероятностями
Описание слайда:
Распределение Пуассона P Сл. в.  имеет распределение Пуассона с параметром , где >0, если  принимает значения 0, 1, 2,… с вероятностями

Слайд 41


Функция распределения Определение Функцией распределения случайной величины  называется функция F(x), при каждом xR равная F(x) = P{ < x}.
Описание слайда:
Функция распределения Определение Функцией распределения случайной величины  называется функция F(x), при каждом xR равная F(x) = P{ < x}.

Слайд 42


Лекция 6. Непрерывные распределения Случайная величина  имеет непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f(x) такая, что...
Описание слайда:
Лекция 6. Непрерывные распределения Случайная величина  имеет непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f(x) такая, что для любого x0R функция распределения представима в виде При этом функция f(x) называется плотностью распределения случайной величины .

Слайд 43


Геометрический смысл функции распределения
Описание слайда:
Геометрический смысл функции распределения

Слайд 44


Равномерное распределение R [a, b]
Описание слайда:
Равномерное распределение R [a, b]

Слайд 45


Нормальное распределение N (a,)
Описание слайда:
Нормальное распределение N (a,)

Слайд 46


Нормальное распределение N (a,) Графики нормальных плотностей имеют симметричную, колоколообразную форму. а – это величина, которая характеризует...
Описание слайда:
Нормальное распределение N (a,) Графики нормальных плотностей имеют симметричную, колоколообразную форму. а – это величина, которая характеризует положение кривой плотности на оси абсцисс. Изменение  приводит к изменению формы кривой плотности, с увеличением  кривая делается менее островершинной и более растянутой вдоль оси абсцисс.

Слайд 47


Кривые плотностей N(a, σ) с различными а и σ
Описание слайда:
Кривые плотностей N(a, σ) с различными а и σ

Слайд 48


Плотность и функция распределения N(0,1)
Описание слайда:
Плотность и функция распределения N(0,1)

Слайд 49


Многомерные СВ n – мерной случайной величиной  называется вектор (ω)=(1(ω), 2(ω), … , n(ω)), компонентами которого являются одномерные случайные...
Описание слайда:
Многомерные СВ n – мерной случайной величиной  называется вектор (ω)=(1(ω), 2(ω), … , n(ω)), компонентами которого являются одномерные случайные величины. Функцией распределения n–мерной случайной величины  называется функция F1,2,…,n(x1, x2, …, xn)= P(1 < x1, …, n < xn)

Слайд 50


Лекция 7. Числовые характеристики Математическим ожиданием M сл. вел.  с дискретным распределением, задаваемым законом распределения P(=xi) = pi,...
Описание слайда:
Лекция 7. Числовые характеристики Математическим ожиданием M сл. вел.  с дискретным распределением, задаваемым законом распределения P(=xi) = pi, называется число Смысл: Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины.

Слайд 51


Математическое ожидание н.сл.в. Математическим ожиданием M непрерывно распределенной сл. в.  с с плотностью распределения f(x) называется число...
Описание слайда:
Математическое ожидание н.сл.в. Математическим ожиданием M непрерывно распределенной сл. в.  с с плотностью распределения f(x) называется число Математическое ожидание существует, если M|ξ| < ∞.

Слайд 52


Математическое ожидание функции случайной величины
Описание слайда:
Математическое ожидание функции случайной величины

Слайд 53


Дисперсия случайной величины Если случайная величина ξ имеет математическое ожидание M ξ , то дисперсией случайной величины ξ называется величина D ξ...
Описание слайда:
Дисперсия случайной величины Если случайная величина ξ имеет математическое ожидание M ξ , то дисперсией случайной величины ξ называется величина D ξ = M(ξ - M ξ )2. Смысл: Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Слайд 54


Числовые характеристики
Описание слайда:
Числовые характеристики

Слайд 55


Начальные и центральные моменты Начальным моментом k-го порядка случайной величины ξ называется величина αk = Mξ k. Центральным моментом k-го порядка...
Описание слайда:
Начальные и центральные моменты Начальным моментом k-го порядка случайной величины ξ называется величина αk = Mξ k. Центральным моментом k-го порядка случайной величины ξ называется величина μk, определяемая формулой μk = M(ξ - Mξ )k.

Слайд 56


Коэффициент асимметрии
Описание слайда:
Коэффициент асимметрии

Слайд 57


Коэффициент асимметрии
Описание слайда:
Коэффициент асимметрии

Слайд 58


Коэффициент эксцесса
Описание слайда:
Коэффициент эксцесса

Слайд 59


Лекция 8. Линейная зависимость Определение. Ковариацией случайной величины (ξ, η) называется центральный смешанный момент второго порядка Kξ,η =...
Описание слайда:
Лекция 8. Линейная зависимость Определение. Ковариацией случайной величины (ξ, η) называется центральный смешанный момент второго порядка Kξ,η = cov(ξ, η) = M[(ξ – Mξ)∙(η – Mη)]. Ковариация есть мера линейной зависимости между ξ, η. Вычисляется по формуле cov(ξ, η) = M(ξ∙η) – M ξ∙M η.

Слайд 60


Коэффициент корреляции Коэффициентом корреляции между случайными величинами ξ, η называется число
Описание слайда:
Коэффициент корреляции Коэффициентом корреляции между случайными величинами ξ, η называется число

Слайд 61


Свойства коэффициента корреляции 1. │ρξη│≤ 1. 2. Если ξ,η независимы, то ρξη= 0. Если │ρξη│=1, то ξ, η линейно зависимы, то есть существуют такие a и...
Описание слайда:
Свойства коэффициента корреляции 1. │ρξη│≤ 1. 2. Если ξ,η независимы, то ρξη= 0. Если │ρξη│=1, то ξ, η линейно зависимы, то есть существуют такие a и b, что ξ = aη + b.

Слайд 62


Смысл коэффициента корреляции Коэффициент корреляции есть мера линейной зависимости между ξ, η. Его модуль указывает на силу линейной связи (чем...
Описание слайда:
Смысл коэффициента корреляции Коэффициент корреляции есть мера линейной зависимости между ξ, η. Его модуль указывает на силу линейной связи (чем ближе к 1, тем сильнее), а знак указывает на направление связи.

Слайд 63


Уравнение линейной регрессии Уравнением линейной регрессии η на ξ называется уравнение ηˆ = aξ + b, параметры которого минимизируют остаточную...
Описание слайда:
Уравнение линейной регрессии Уравнением линейной регрессии η на ξ называется уравнение ηˆ = aξ + b, параметры которого минимизируют остаточную дисперсию S2ост= M (η – ηˆ)2 = M(η – (aξ + b))2. Смысл. Уравнение линейной регрессии η на ξ выражает линейную зависимость η от ξ.

Слайд 64


Формулы уравнения линейной регрессии
Описание слайда:
Формулы уравнения линейной регрессии

Слайд 65


Лекция 9. Условные распределения Пусть (ξ, η) – двумерная случайная величина. Рассмотрим распределение η при условии, что ξ = x. Оно называется...
Описание слайда:
Лекция 9. Условные распределения Пусть (ξ, η) – двумерная случайная величина. Рассмотрим распределение η при условии, что ξ = x. Оно называется условным. Определение. Условной функцией распределения случайной величины η при условии, что ξ = x, называется Fη/ξ = x = P(η < y/ξ = x).

Слайд 66


Нахождение условной функции распределения Условная функция распределения случайной величины η при условии, что ξ = x
Описание слайда:
Нахождение условной функции распределения Условная функция распределения случайной величины η при условии, что ξ = x

Слайд 67


Условная плотность Если условная функция распределения случайной величины η при условии, что ξ = x, непрерывна, то производная от нее называется...
Описание слайда:
Условная плотность Если условная функция распределения случайной величины η при условии, что ξ = x, непрерывна, то производная от нее называется условной плотностью распределения случайной величины η при условии, что ξ = x.

Слайд 68


Условное математическое ожидание Условным математическим ожиданием M(η/ξ = x) случайной величины η при условии, что ξ = x, называется математическое...
Описание слайда:
Условное математическое ожидание Условным математическим ожиданием M(η/ξ = x) случайной величины η при условии, что ξ = x, называется математическое ожидание, найденное с помощью условного закона распределения. Условная функция распределения, условная плотность, условное математическое ожидание обладают свойствами функции распределения, плотности, математического ожидания соответственно.

Слайд 69


Регрессия Определение. Регрессией η на ξ называется случайная величина r(ξ), равная при каждом x условному математическому ожиданию случайной...
Описание слайда:
Регрессия Определение. Регрессией η на ξ называется случайная величина r(ξ), равная при каждом x условному математическому ожиданию случайной величины η при условии, что ξ = x. Определение. Линией регрессии называется линия y = r(x), где r(x) = M(η/ξ = x).

Слайд 70


Корреляционное отношение Корреляционным отношением η на ξ называется числовая характеристика, равная
Описание слайда:
Корреляционное отношение Корреляционным отношением η на ξ называется числовая характеристика, равная

Слайд 71


Лекция 10. Предельные теоремы Неравенство Маркова. Для любого ε > 0 Неравенство Чебышева. Для любого ε > 0
Описание слайда:
Лекция 10. Предельные теоремы Неравенство Маркова. Для любого ε > 0 Неравенство Чебышева. Для любого ε > 0

Слайд 72


Сходимость по вероятности Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn сходится по вероятности к сл. в. ξ, если для любого ε > 0
Описание слайда:
Сходимость по вероятности Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn сходится по вероятности к сл. в. ξ, если для любого ε > 0

Слайд 73


Закон больших чисел (ЗБЧ) Определение. Говорят, что к последовательности случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn с математическими ожиданиями Mξi = ai, i =...
Описание слайда:
Закон больших чисел (ЗБЧ) Определение. Говорят, что к последовательности случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn с математическими ожиданиями Mξi = ai, i = 0,1,…,n, применим закон больших чисел, если

Слайд 74


Закон больших чисел Смысл: среднее значение случайных величин стремится по вероятности к среднему их математических ожиданий (то есть к постоянной...
Описание слайда:
Закон больших чисел Смысл: среднее значение случайных величин стремится по вероятности к среднему их математических ожиданий (то есть к постоянной величине). Замечание. ЗБЧ справедлив при некоторых условиях. Различные группы условий определяют разные формы закона больших чисел.

Слайд 75


ЗБЧ в форме Чебышева Теорема. Если для последовательности случайных величин {ξn} с математическими ожиданиями Mξi=ai и с дисперсиями Dξi=σ2i,...
Описание слайда:
ЗБЧ в форме Чебышева Теорема. Если для последовательности случайных величин {ξn} с математическими ожиданиями Mξi=ai и с дисперсиями Dξi=σ2i, i=0,1,…,n, выполняются условия: сл.в. {ξn} независимы; дисперсии всех сл.в. {ξn} ограничены одним и тем же числом, (σ2i ≤ A для всех i), то к {ξn} применим ЗБЧ.

Слайд 76


ЗБЧ в форме Бернулли Теорема. Пусть осуществляется серия из n независимых опытов, проводимых по схеме Бернулли с параметром p, пусть m – число...
Описание слайда:
ЗБЧ в форме Бернулли Теорема. Пусть осуществляется серия из n независимых опытов, проводимых по схеме Бернулли с параметром p, пусть m – число успехов, m/n – частота успехов в данной серии испытаний. Тогда

Слайд 77


ЗБЧ в форме Хинчина Теорема. Для того, чтобы к последовательности случайных величин {ξn} был применим ЗБЧ, достаточно выполнения условий: сл.в. {ξn}...
Описание слайда:
ЗБЧ в форме Хинчина Теорема. Для того, чтобы к последовательности случайных величин {ξn} был применим ЗБЧ, достаточно выполнения условий: сл.в. {ξn} независимы; сл.в. {ξn} одинаково распределены. Тогда

Слайд 78


Центральная предельная теорема (ЦПТ) В теоремах этой группы выясняются условия, при которых возникает нормальное распределение. Общим для этих теорем...
Описание слайда:
Центральная предельная теорема (ЦПТ) В теоремах этой группы выясняются условия, при которых возникает нормальное распределение. Общим для этих теорем является следующее обстоятельство: закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин при некоторых условиях неограниченно приближается к нормальному.

Слайд 79


Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных сл. в. Если случайные величины {ξn} независимы, одинаково распределены и...
Описание слайда:
Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных сл. в. Если случайные величины {ξn} независимы, одинаково распределены и имеют конечные математические ожидания Mξi=a и дисперсии Dξi=σ2,… i=0,1,…,n, то при n→∞

Слайд 80


Зависимость от числа слагаемых
Описание слайда:
Зависимость от числа слагаемых

Слайд 81


Практическое значение ЦПТ Многие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных независимых слагаемых. Например: числа продаж некоторого...
Описание слайда:
Практическое значение ЦПТ Многие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных независимых слагаемых. Например: числа продаж некоторого товара; объемы прибыли от реализации однородного товара различными производителями; валютные курсы. Из ЦПТ следует, что они приближенно нормально распределены.

Слайд 82


Лекция 11. Введение в математическую статистику Математическая статистика – это раздел математики который занимается разработкой методов сбора,...
Описание слайда:
Лекция 11. Введение в математическую статистику Математическая статистика – это раздел математики который занимается разработкой методов сбора, описания и анализа экспериментальных результатов наблюдений, массовых случайных явлений. Фундаментальными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность и выборка.

Слайд 83


Основные понятия Совокупность наблюдаемых случайных величин Х = (Х1, ..., Хn) называется выборкой, сами величины Xi , i =1,..., n, – элементами...
Описание слайда:
Основные понятия Совокупность наблюдаемых случайных величин Х = (Х1, ..., Хn) называется выборкой, сами величины Xi , i =1,..., n, – элементами выборки, а их число n – ее объемом. Реализации выборки Х будем обозначать строчными буквами х = (x1,..., xn). Статистической моделью называется класс распределений, допустимых для выборки.

Слайд 84


Простая выборка Таким образом, мы рассматриваем генеральную совокупность как случайную величину , а выборку – как n – мерную случайную величину (1,...
Описание слайда:
Простая выборка Таким образом, мы рассматриваем генеральную совокупность как случайную величину , а выборку – как n – мерную случайную величину (1, …, n), компоненты которой независимы и одинаково распределены (так же, как ). Такие выборки называются простыми.

Слайд 85


Эмпирическая функция распределения Эмпирической функцией распределения называется случайная функция от Fn(x), вычисляемая по формуле где νn – число...
Описание слайда:
Эмпирическая функция распределения Эмпирической функцией распределения называется случайная функция от Fn(x), вычисляемая по формуле где νn – число элементов выборки Х, значения которых меньше х.

Слайд 86


Свойства эмпирической функции распределения Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке Х из распределения , и F(x) –...
Описание слайда:
Свойства эмпирической функции распределения Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке Х из распределения , и F(x) – соответствующая теоретическая функция. Тогда:

Слайд 87


Группировка выборки При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы, представляя результаты опытов в виде группированного статистического...
Описание слайда:
Группировка выборки При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы, представляя результаты опытов в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на k непересекающихся интервалов длины h. Результаты сводятся в таблицу, называемую таблицей частот группированной выборки.

Слайд 88


Параметры группировки Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки R. Число интервалов k находится из...
Описание слайда:
Параметры группировки Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки R. Число интервалов k находится из условия 2k –1 ≈ n, где n – объем выборки. Длину интервала h находят по формуле h = R/k. Все интервалы имеют одинаковую длину.

Слайд 89


Графические характеристики выборки Если на каждом интервале построить прямоугольник с высотой ni/h, получим гистограмму. Кривая, соединяющая середины...
Описание слайда:
Графические характеристики выборки Если на каждом интервале построить прямоугольник с высотой ni/h, получим гистограмму. Кривая, соединяющая середины верхних оснований гистограммы, называется полигоном (частот). Полигон — непрерывная функция (ломаная).

Слайд 90


Гистограмма и плотность Гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения генеральной совокупности.
Описание слайда:
Гистограмма и плотность Гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения генеральной совокупности.

Слайд 91


Лекция 12. Числовые характеристики выборки Выборочное среднее Выборочная дисперсия Выборочная исправленная дисперсия Выборочное среднеквадратическое...
Описание слайда:
Лекция 12. Числовые характеристики выборки Выборочное среднее Выборочная дисперсия Выборочная исправленная дисперсия Выборочное среднеквадратическое отклонение Выборочный начальный момент порядка l Выборочный центральный момент порядка l

Слайд 92


Числовые характеристики выборки Выборочный коэффициент асимметрии Выборочный коэффициент эксцесса Коэффициент вариации Выборочная мода Выборочная...
Описание слайда:
Числовые характеристики выборки Выборочный коэффициент асимметрии Выборочный коэффициент эксцесса Коэффициент вариации Выборочная мода Выборочная медиана Выборочная квантиль порядка q

Слайд 93


Способ получения выборочных формул Чтобы из формулы числовой характеристики сл.в. получить формулу выборочной характеристики, нужно: заменить...
Описание слайда:
Способ получения выборочных формул Чтобы из формулы числовой характеристики сл.в. получить формулу выборочной характеристики, нужно: заменить обозначение сл.в. обозначением элемента выборки (xi) заменить знак математического ожидания М[..] на

Слайд 94


Замечание Если в формуле встречается числовая характеристика, для которой уже известна соответствующая ей выборочная, то числовая характеристика...
Описание слайда:
Замечание Если в формуле встречается числовая характеристика, для которой уже известна соответствующая ей выборочная, то числовая характеристика заменяется на выборочную. Например,

Слайд 95


Выборочное среднее Выборочное среднее (по вариационному ряду x1,x2,…,xn)
Описание слайда:
Выборочное среднее Выборочное среднее (по вариационному ряду x1,x2,…,xn)

Слайд 96


Выборочная дисперсия
Описание слайда:
Выборочная дисперсия

Слайд 97


Выборочный начальный момент порядка l Теоретический Выборочный по вариационному ряду Выборочный по статистическому ряду
Описание слайда:
Выборочный начальный момент порядка l Теоретический Выборочный по вариационному ряду Выборочный по статистическому ряду

Слайд 98


Выборочный центральный момент порядка l Теоретический Выборочный по вариационному ряду Выборочный по статистическому ряду
Описание слайда:
Выборочный центральный момент порядка l Теоретический Выборочный по вариационному ряду Выборочный по статистическому ряду

Слайд 99


Лекция 13. Распределение выборочных характеристик Распределением 2 с k степенями свободы называется распределение случайной величины 2(k), равной...
Описание слайда:
Лекция 13. Распределение выборочных характеристик Распределением 2 с k степенями свободы называется распределение случайной величины 2(k), равной сумме квадратов k независимых нормально распределенных по закону N(0,1) случайных величин Ui i = 1,2,…,k, то есть распределение случайной величины

Слайд 100


Плотность распределения χ2 при k = 7
Описание слайда:
Плотность распределения χ2 при k = 7

Слайд 101


Плотность распределения χ2 при разных k
Описание слайда:
Плотность распределения χ2 при разных k

Слайд 102


Распределение Стьюдента Распределением Стьюдента с k степенями свободы называется распределение случайной величины Т(k), равной где U имеет...
Описание слайда:
Распределение Стьюдента Распределением Стьюдента с k степенями свободы называется распределение случайной величины Т(k), равной где U имеет нормальное распределение N(0, 1). Величина, имеющая распределение Стьюдента с k степенями свободы будет также обозначаться t(k).

Слайд 103


Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №103
Описание слайда:

Слайд 104


Распределение Фишера Распределением Фишера с k1 и k2 степенями свободы называется распределение случайной величины F(k1, k2), равной
Описание слайда:
Распределение Фишера Распределением Фишера с k1 и k2 степенями свободы называется распределение случайной величины F(k1, k2), равной

Слайд 105


Теорема Фишера Пусть (X1, X2,..., Xn) – выборка из N(a, ). Тогда:
Описание слайда:
Теорема Фишера Пусть (X1, X2,..., Xn) – выборка из N(a, ). Тогда:

Слайд 106


Теорема Пусть (X1, X2,..., Xn) – выборка из N(a, ). Тогда:
Описание слайда:
Теорема Пусть (X1, X2,..., Xn) – выборка из N(a, ). Тогда:

Слайд 107


Лекция 14. Точечное оценивание параметров Основная задача математической статистики состоит в нахождении распределения наблюдаемой случайной величины...
Описание слайда:
Лекция 14. Точечное оценивание параметров Основная задача математической статистики состоит в нахождении распределения наблюдаемой случайной величины Х по данным выборки. Во многих случаях вид распределения Х можно считать известным, и задача сводится к получению приближенных значений неизвестных параметров этого распределения.

Слайд 108


Точечные оценки Рассмотрим параметрическую модель (Fθ) и выборку (X1, X2,..., Xn) . (То есть известен вид функции распределения F, и F зависит от...
Описание слайда:
Точечные оценки Рассмотрим параметрическую модель (Fθ) и выборку (X1, X2,..., Xn) . (То есть известен вид функции распределения F, и F зависит от одного неизвестного параметра θ). Точечной оценкой неизвестного параметра θ называется функция элементов выборки, используемая для получения приближенного значения θ.

Слайд 109


Несмещенность Оценка параметра θ называется несмещенной, если
Описание слайда:
Несмещенность Оценка параметра θ называется несмещенной, если

Слайд 110


Несмещенные оценки в N(a,σ) В N(a,σ): выборочное среднее – несмещенная оценка параметра a, выборочная дисперсия – смещенная оценка σ2, исправленная...
Описание слайда:
Несмещенные оценки в N(a,σ) В N(a,σ): выборочное среднее – несмещенная оценка параметра a, выборочная дисперсия – смещенная оценка σ2, исправленная выборочная дисперсия – несмещенная оценка σ2.

Слайд 111


Состоятельность Оценка параметра θ называется состоятельной, если
Описание слайда:
Состоятельность Оценка параметра θ называется состоятельной, если

Слайд 112


Оптимальность Для параметра θ может быть предложено несколько несмещенных оценок. Мерой точности несмещенной оценки считают ее дисперсию Несмещенная...
Описание слайда:
Оптимальность Для параметра θ может быть предложено несколько несмещенных оценок. Мерой точности несмещенной оценки считают ее дисперсию Несмещенная оценка параметра θ называется оптимальной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра.

Слайд 113


Нижняя граница дисперсий Для дисперсии несмещенной оценки параметра θ выполняется неравенство Рао – Крамера:
Описание слайда:
Нижняя граница дисперсий Для дисперсии несмещенной оценки параметра θ выполняется неравенство Рао – Крамера:

Слайд 114


Эффективность Несмещенная оценка параметра θ называется эффективной, если ее дисперсия равна нижней границе Рао –Крамера:
Описание слайда:
Эффективность Несмещенная оценка параметра θ называется эффективной, если ее дисперсия равна нижней границе Рао –Крамера:

Слайд 115


Оценка максимального правдоподобия Оценкой максимального правдоподобия (о.м.п.) неизвестного параметра θ называют значение, при котором функция...
Описание слайда:
Оценка максимального правдоподобия Оценкой максимального правдоподобия (о.м.п.) неизвестного параметра θ называют значение, при котором функция правдоподобия достигает максимума (как функция от θ при фиксированных (X1, X2,..., Xn). Это значение параметра зависит от выборки и является искомой оценкой.

Слайд 116


Метод максимального правдоподобия Для нахождения максимума функции правдоподобия L можно искать максимум ln L и решать уравнение правдоподобия
Описание слайда:
Метод максимального правдоподобия Для нахождения максимума функции правдоподобия L можно искать максимум ln L и решать уравнение правдоподобия

Слайд 117


Метод моментов Теоретические моменты случайной величины зависят от параметра, а выборочные моменты зависят от элементов выборки. Но выборочные...
Описание слайда:
Метод моментов Теоретические моменты случайной величины зависят от параметра, а выборочные моменты зависят от элементов выборки. Но выборочные приближенно равны теоретическим. Приравняем их, и получим уравнения, связывающие параметр и элементы выборки. Выразим из них параметр. Полученная функция и называется оценкой метода моментов (о.м.м.).

Слайд 118


Лекция 15. Интервальное оценивание параметров Доверительным интервалом уровня значимости α (0< α
Описание слайда:
Лекция 15. Интервальное оценивание параметров Доверительным интервалом уровня значимости α (0< α

Слайд 119


Уровень значимости α Его обычно берут равным одному из чисел 0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.1. Уровень значимости выражает ошибку доверительного...
Описание слайда:
Уровень значимости α Его обычно берут равным одному из чисел 0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.1. Уровень значимости выражает ошибку доверительного интервала. Чем меньше α, тем больше доверительная вероятность и тем надежнее доверительный интервал, но более надежный интервал является более широким и менее информативным. Стандартный уровень значимости α =0.05. Соответствующий доверительный интервал называется 95% –м.

Слайд 120


Схема построения доверительного интервала Надо взять статистику G(x, θ), такую, что она сама зависит от параметра θ, а ее распределение от θ не...
Описание слайда:
Схема построения доверительного интервала Надо взять статистику G(x, θ), такую, что она сама зависит от параметра θ, а ее распределение от θ не зависит, записать уравнение P(γ1 ≤ G(x, θ) ≤ γ2) = 1 – α, и разрешить неравенство под знаком вероятности относительно параметра θ.

Слайд 121


Доверительный интервал для параметра a распределения N(a, σ)
Описание слайда:
Доверительный интервал для параметра a распределения N(a, σ)

Слайд 122


Квантили нормального распределения
Описание слайда:
Квантили нормального распределения

Слайд 123


Доверительный интервал для параметра a (при неизвестном σ) :
Описание слайда:
Доверительный интервал для параметра a (при неизвестном σ) :

Слайд 124


Доверительный интервал для параметра σ распределения N(a, σ)
Описание слайда:
Доверительный интервал для параметра σ распределения N(a, σ)

Слайд 125


Асимптотический доверительный интервал Разрешив неравенство относительно θ, получим доверительный интервал для параметра θ значимости α.
Описание слайда:
Асимптотический доверительный интервал Разрешив неравенство относительно θ, получим доверительный интервал для параметра θ значимости α.

Слайд 126


Лекция 16. Проверка статистических гипотез Статистической гипотезой называется утверждение о виде распределения генеральной совокупности. Проверяемая...
Описание слайда:
Лекция 16. Проверка статистических гипотез Статистической гипотезой называется утверждение о виде распределения генеральной совокупности. Проверяемая гипотеза называется нулевой и обозначается H0. Наряду с ней рассматривают альтернативную гипотезу H1. Правило, согласно которому проверяют гипотезу H0 (принимают или отвергают), называется статистическим критерием.

Слайд 127


Проверка гипотезы Определим для малого α >0 область V так, чтобы в случае справедливости гипотезы H0 вероятность осуществления события P(T(x) € V ) =...
Описание слайда:
Проверка гипотезы Определим для малого α >0 область V так, чтобы в случае справедливости гипотезы H0 вероятность осуществления события P(T(x) € V ) = α. По выборке вычислим значение статистики Т = tв. Если окажется, что tв € V, то в предположении справедливости гипотезы H0, произошло маловероятное событие и эта гипотеза должна быть отвергнута как противоречащая статистическим данным. В противном случае нет основания отказываться от гипотезы H0 .

Слайд 128


Критическая область Статистика T(X), определенная выше, называется статистикой критерия, V – критической областью критерия, α – уровнем значимости...
Описание слайда:
Критическая область Статистика T(X), определенная выше, называется статистикой критерия, V – критической областью критерия, α – уровнем значимости критерия (вероятностью ошибочного отвержения гипотезы H0, когда она верна). В конкретных задачах величину α берут равной 0,005; 0,01; 0,05; 0,1.

Слайд 129


Если значение статистики попадает критическую область, то H0 отвергается.
Описание слайда:
Если значение статистики попадает критическую область, то H0 отвергается.

Слайд 130


Ошибка первого рода Ошибка первого рода состоит в том, что H0 отвергается, когда она верна. Вероятность ошибки 1 – го рода обозначается α, α=P(T€ V/...
Описание слайда:
Ошибка первого рода Ошибка первого рода состоит в том, что H0 отвергается, когда она верна. Вероятность ошибки 1 – го рода обозначается α, α=P(T€ V/ H0) (значение статистики Т принадлежит критической области V при условии, что верна H0) . α – это уровень значимости.

Слайд 131


Ошибка второго рода Ошибка второго рода состоит в том, что H0 не отвергается, когда она не верна. Вероятность ошибки 2 – го рода обозначается β. β –...
Описание слайда:
Ошибка второго рода Ошибка второго рода состоит в том, что H0 не отвергается, когда она не верна. Вероятность ошибки 2 – го рода обозначается β. β – это вероятность того, что значение статистики Т не принадлежит критической области V при условии, что верна H1.

Слайд 132


Мощность критерия Мощностью критерия называется величина М= 1 – β. Мощность критерия М равна вероятности отвергнуть H0, когда она не верна. М – это...
Описание слайда:
Мощность критерия Мощностью критерия называется величина М= 1 – β. Мощность критерия М равна вероятности отвергнуть H0, когда она не верна. М – это вероятность того, что значение статистики Т принадлежит критической области V при условии, что верна H1.

Слайд 133


Лекция 17. Проверка гипотез о параметрах Общая схема проверки
Описание слайда:
Лекция 17. Проверка гипотез о параметрах Общая схема проверки

Слайд 134


Общая схема проверки параметрических гипотез 3. Найти критическую область V. 4. Рассчитать по выборке значение ст –ки Тв. 5. Если Тв попадает в...
Описание слайда:
Общая схема проверки параметрических гипотез 3. Найти критическую область V. 4. Рассчитать по выборке значение ст –ки Тв. 5. Если Тв попадает в критическую область V, то нулевая гипотеза отвергается (в пользу альтернативной). Если Тв не попадает в критическую область V, то нулевая гипотеза не отвергается. 6. Сформулировать ответ в терминах вопроса.

Слайд 135


Проверка гипотез о параметрах нормального распределения Гипотезы о параметрах одного распределения (одна выборка). Гипотезы о параметрах двух...
Описание слайда:
Проверка гипотез о параметрах нормального распределения Гипотезы о параметрах одного распределения (одна выборка). Гипотезы о параметрах двух распределений (две независимые выборки). Гипотезы о параметрах двух распределений (две парные выборки).

Слайд 136


Гипотеза о дисперсии. H0: σ = σ0.
Описание слайда:
Гипотеза о дисперсии. H0: σ = σ0.

Слайд 137


Гипотеза о среднем. H0: a = a0. 1) (X1,, X2,...,Xn) €, N(θ1, σ), то есть параметр σ известен, а параметр a не известен.
Описание слайда:
Гипотеза о среднем. H0: a = a0. 1) (X1,, X2,...,Xn) €, N(θ1, σ), то есть параметр σ известен, а параметр a не известен.

Слайд 138


Гипотеза о среднем. H0: a = a0. 2) (X1,, X2,..., Xn) € N(θ1,θ2), то есть оба параметра неизвестны.
Описание слайда:
Гипотеза о среднем. H0: a = a0. 2) (X1,, X2,..., Xn) € N(θ1,θ2), то есть оба параметра неизвестны.

Слайд 139


Гипотеза о дисперсиях. H0: σ1 = σ2. Критерий Фишера
Описание слайда:
Гипотеза о дисперсиях. H0: σ1 = σ2. Критерий Фишера

Слайд 140


Гипотеза о средних. H0: a1 = a2. Критерий Стьюдента
Описание слайда:
Гипотеза о средних. H0: a1 = a2. Критерий Стьюдента

Слайд 141


Лекция 18. Проверка гипотез о виде распределения. Критерии согласия
Описание слайда:
Лекция 18. Проверка гипотез о виде распределения. Критерии согласия

Слайд 142


H0: F=F0. Критерий согласия Колмогорова Критерий применяется для непрерывных сл.в. В качестве статистики T выбирают величину Dn = Dn(x) = max|Fn(x) –...
Описание слайда:
H0: F=F0. Критерий согласия Колмогорова Критерий применяется для непрерывных сл.в. В качестве статистики T выбирают величину Dn = Dn(x) = max|Fn(x) – F0(x)|, где Fn(x) – эмпирическая функция распределения, а в качестве критической области – область вида V = (t*,+∞).

Слайд 143


Применение критерия Колмогорова При n → ∞, если H0 – верная гипотеза, распределение статистики √n Dn сходится к функции Колмогорова К(t). Функция...
Описание слайда:
Применение критерия Колмогорова При n → ∞, если H0 – верная гипотеза, распределение статистики √n Dn сходится к функции Колмогорова К(t). Функция Колмогорова задается таблично. При практических расчетах значения К(t) можно применять уже при n > 20. t* находится из таблиц К(t) по заданному α. Например, при α = 0,05 находим, что t* = 1,358.

Слайд 144


Правило проверки Таким образом, при заданном уровне значимости α правило проверки гипотезы H0 при n>20 сводится к следующему: если значение...
Описание слайда:
Правило проверки Таким образом, при заданном уровне значимости α правило проверки гипотезы H0 при n>20 сводится к следующему: если значение статистики √n Dn ≥ t*, то H0 отвергают, в противном случае делают вывод, что статистические данные не противоречат гипотезе.

Слайд 145


Критерий согласия Пирсона χ2 Критерий применяется к группированной выборке. Пусть n – объем выборки (n ≥ 50), k – число интервалов группировки, ni –...
Описание слайда:
Критерий согласия Пирсона χ2 Критерий применяется к группированной выборке. Пусть n – объем выборки (n ≥ 50), k – число интервалов группировки, ni – число значений, попавших в i –й интервал, i = 1,…,k, (ni ≥ 5), pi – теоретическая вероятность попадания одного элемента выборки в i – й интервал, npi = niТ ( теоретические частоты).

Слайд 146


Статистика критерия Пирсона Если для оценки параметров используются оценки максимального правдоподобия, то:
Описание слайда:
Статистика критерия Пирсона Если для оценки параметров используются оценки максимального правдоподобия, то:

Слайд 147


Правило проверки ν = k – r –1, где r – число параметров, оцененных по выборке. Критическая область имеет вид (t*, +∞), где t* – квантиль...
Описание слайда:
Правило проверки ν = k – r –1, где r – число параметров, оцененных по выборке. Критическая область имеет вид (t*, +∞), где t* – квантиль распределения χ2 порядка 1 – α. Если значение статистики T ≥ t*, то H0 отвергают, в противном случае делают вывод, что статистические данные не противоречат гипотезе.

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию