🗊Презентация Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

МОУ Теньгушевская средняя общеобразовательная школа Алгебра 11 класс. Тема: Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Цель: Углубить ЗУН учащихся по теме: Исследование функций с помощью производной. Показать практическое приложение производной. Учитель – методист: Анна Павловна Родина

С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а 1.Найдите промежутки возрастания и убывания функции. а) а) б) б) 2. Исследуйте функцию у=f(x) на максимум и минимум. а) а) б) б) 3.Найти все значения а, при которых для всех действительных значений х, если

Признаки возрастания и убывания функции. Теорема 1. Если функция, имеющая производную для всех значений аргумента из интервала (а;в), возрастает в этом интервале, то производная в точках интервала (а;в) принимает либо положительное значения, либо в отдельных точках равна нулю. Доказательство: Пусть на (а;в) функция y=f(x) возрастает. Возьмем х (а;в), так чтобы а х в т.к. f(x) возрастает, то

Теорема 2. Теорема 2. Если функция, имеющая производную для всех значений аргумента из интервала (а;в), убывает в этом интервале, то производная в точках этого интервала принимает либо отрицательные значения либо в отдельных точках равна нулю.

Теорема Лагранжа Если функция непрерывна на сегменте [а;в] и внутри него имеет производную, то найдется такое значение х=с (а<с<в), при котором 1. Например, вычислите значение с в формуле Лагранжа для функции на сегменте [0;2] Решение: , тогда , с=1. 2. Если формулу Лагранжа переписать в виде то она может быть выражена словами: отношение приращения функции к приращению аргумента (в-a) равно производной от заданной функции, вычисленной при некотором значении аргумента, заключенном между а и в.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Формула имеет интересный геометрический смысл: если в каждой точке дуги кривой существует касательная, то на дуге всегда найдется такая точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей эту дугу. у М В А а с в х

Теорема 4. Если функция дифференцируема на интервале (а;в) и для всех , то функция возрастает на интервале (а;в). Теорема 4. Если функция дифференцируема на интервале (а;в) и для всех , то функция возрастает на интервале (а;в). Доказательство: 1) Пусть и 2) где . т.к. на (а;в)

Интервалы монотонности Решение:

Необходимое условие существования экстремума функции. Теорема Если функция имеет производную в каждой точке интервала (а;в), то в точке экстремума производная равна нулю. Доказательство: Пусть , с – точка экстремума. Доказать, что . Пусть с – точка максимума. Тогда при выполняется . 1)если , то 2)если , то Итак:

Пример 1. Пример 1. Найти экстремумы функции. Решение: Пример2. . Найти экстремумы функции. Решение: 1) 2)

Достаточные условия существования экстремума. Теорема 1. Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала и пусть точка этого интервала есть стационарная точка функции. Тогда, если в некоторой окрестности точки слева от точки с производная положительна, а справа – отрицательна, то в точке с функция имеет максимум. Доказательство: Т.к. на (а;в) существует , то функция непрерывна.

Теорема 2. Пусть функция имеет производную в Теорема 2. Пусть функция имеет производную в точке интервала и пусть точка этого интервала есть стационарная точка функции. Тогда, если в некоторой окрестности точки слева от точки с производная отрицательна, а справа – положительна, то в точке с функция имеет минимум. Теорема 3. нет экстремума

Теорема 1, 2 и 3 справедливы также для точек, в которых Теорема 1, 2 и 3 справедливы также для точек, в которых производная не существует. Пример , при х=0 – точка минимума.

Приложения производной 1. Работа. Рассмотрим работу ,которую совершает заданная сила при перемещении по отрезку оси Ох. Если сила постоянна, то работа , где А - работа, F – сила, S - длина пути . Если сила меняется, то F=F (x). на нельзя точно вычислить как произведение но при т.е.силу можно считать производной работы по перемещению

2. Заряд 2. Заряд Пусть q - заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t. Если сила тока постоянна, то за время ток переносит заряд, равный . При силе тока ,изменяющейся со временем по некоторому закону ,то произведение дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени ,т.е. . Значит сила тока является производной заряда по времени

3. Температура 3. Температура Длина стержня меняется в зависимости от температуры по закону Найти коэффициент линейного расширения при Найти промежутки расширения и сжатия стержня. Решение: 1) 2)

4 .Успехи ученика 4 .Успехи ученика Обсуждая успехи своего ученика, учитель математики так отозвался о нем: «Он очень мало знает, но у него положительная производная». Что хотел сказать учитель? Да. Скорость приращения знаний у ученика положительна, а это есть залог того, что его знания возрастут. Подумайте, как вы могли бы охарактеризовать три разные кривые роста знаний.

Домашние задание: Тренажер: найти точки экстремума функции.