Основной математический аппарат - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Основной математический аппарат, слайд №1

Основной математический аппарат, слайд №2

Основной математический аппарат, слайд №3

Основной математический аппарат, слайд №4

Основной математический аппарат, слайд №5

Основной математический аппарат, слайд №6

Основной математический аппарат, слайд №7

Основной математический аппарат, слайд №8

Основной математический аппарат, слайд №9

Основной математический аппарат, слайд №10

Основной математический аппарат, слайд №11

Основной математический аппарат, слайд №12

Основной математический аппарат, слайд №13

Основной математический аппарат, слайд №14

Основной математический аппарат, слайд №15

Основной математический аппарат, слайд №16

Основной математический аппарат, слайд №17

Основной математический аппарат, слайд №18

Основной математический аппарат, слайд №19

Основной математический аппарат, слайд №20

Основной математический аппарат, слайд №21

Основной математический аппарат, слайд №22

Основной математический аппарат, слайд №23

Основной математический аппарат, слайд №24

Основной математический аппарат, слайд №25

Основной математический аппарат, слайд №26

Основной математический аппарат, слайд №27

Основной математический аппарат, слайд №28

Основной математический аппарат, слайд №29

Основной математический аппарат, слайд №30

Основной математический аппарат, слайд №31

Основной математический аппарат, слайд №32

Основной математический аппарат, слайд №33

Основной математический аппарат, слайд №34

Основной математический аппарат, слайд №35

Основной математический аппарат, слайд №36

Основной математический аппарат, слайд №37

Основной математический аппарат, слайд №38

Основной математический аппарат, слайд №39

Основной математический аппарат, слайд №40

Основной математический аппарат, слайд №41

Основной математический аппарат, слайд №42

Основной математический аппарат, слайд №43

Основной математический аппарат, слайд №44

Основной математический аппарат, слайд №45

Основной математический аппарат, слайд №46

Основной математический аппарат, слайд №47

Основной математический аппарат, слайд №48

Основной математический аппарат, слайд №49

Основной математический аппарат, слайд №50

Основной математический аппарат, слайд №51

Основной математический аппарат, слайд №52

Основной математический аппарат, слайд №53

Основной математический аппарат, слайд №54

Основной математический аппарат, слайд №55

Основной математический аппарат, слайд №56

Основной математический аппарат, слайд №57

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Основной математический аппарат. Доклад-сообщение содержит 57 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

3. Основной математический аппарат

Слайд 2

Описание слайда:

Основной математический аппарат 3.1. δ – функция Дирака. 3.2. Функция единичного скачка. 3.3. Функция распределения дискретной случайной величины. 3.4. Преобразование Лапласа. 3.5. Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа. 3.6. Обратное преобразование Лапласа. 3.7. z-преобразование.

Слайд 3

Описание слайда:

3.1. δ – функция Дирака В 1930 году для решения задач теоретической физики английскому физику П. Дираку, одному из основателей квантовой механики, не хватило аппарата классической математики, и он ввел новый объект, названный “дельта-функцией”, который выходил за рамки классического определения функции. П. Дирак определил дельта-функцию δ(x) следующим образом:

Слайд 4

Описание слайда:

δ – функция Дирака

Слайд 5

Описание слайда:

δ – функция Дирака

Слайд 6

Описание слайда:

δ – функция Дирака Чем более узкой сделать полоску между левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т.е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия δ(x) = 0 при x ≠ 0, то есть функция приближается к дельта-функции. Такая функция моделирует импульс и широко применяется в радиофизике. δ(x) не является функцией в обычном смысле, так как из этого определения следуют несовместимые условия с точки зрения классического определения функции и интеграла (то есть такая функция не существует):

Слайд 7

Описание слайда:

δ – функция Дирака Функции, из которых предельным переходом получается δ – функция могут быть непрерывными и разрывными. Импульс в электротехнике – это одиночный, кратковременный скачок электрического тока или напряжения. Обычно математическая модель импульса - это δ – функция. В частности, для свертки

Слайд 8

Описание слайда:

3.2. Функция единичного скачка Определим функцию единичного скачка, которая называется еще функцией Хевисайда: Ee график 1 x 0

Слайд 9

Описание слайда:

Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме x=0. В этой точке предел отношения приращения функции и приращению аргумента уходит на бесконечность. Если построить последовательность кусочно-линейных функций вида, Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме x=0. В этой точке предел отношения приращения функции и приращению аргумента уходит на бесконечность. Если построить последовательность кусочно-линейных функций вида, 1 x 0

Слайд 10

Описание слайда:

То функции такого вида выражаются в виде То функции такого вида выражаются в виде

Слайд 11

Описание слайда:

Производные таких функций равны Производные таких функций равны

Слайд 12

Описание слайда:

3.3. Функция распределения дискретной случайной величины Пусть дискретная случайная величина X(ω) принимает три значения x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 с вероятностями:

Слайд 13

Описание слайда:

Функция распределения дискретной с.в. Тогда функция распределения FX(x) дискретной случайной величины X(ω) по определению равна FX(x) = P{X(ω) ≤ x}, для нашего примера она равна

Слайд 14

Описание слайда:

График этой функция распределения FX(x): График этой функция распределения FX(x):

Слайд 15

Описание слайда:

Как известно из теории вероятностей, производной такой функция распределения FX(x) не существует, то есть случайная величина X(ω) не имеет функции плотности распределения pX(x) = F′X(x). Как известно из теории вероятностей, производной такой функция распределения FX(x) не существует, то есть случайная величина X(ω) не имеет функции плотности распределения pX(x) = F′X(x). Но применяя δ-функцию, можно построить функции плотности распределения pX(x) и для X(ω).

Слайд 16

Описание слайда:

Для построения функции плотности pX(x) вначале построим функцию распределения FX(x) с использованием функции единичного скачка Для построения функции плотности pX(x) вначале построим функцию распределения FX(x) с использованием функции единичного скачка График функции а 1( x – c ) a x 0 с

Слайд 17

Описание слайда:

Вернемся к функции распределения FX(x): Вернемся к функции распределения FX(x):

Слайд 18

Описание слайда:

Такую функцию плотности FX(x) можно выразить через функцию единичного скачка 1(x) . В точках разрыва функция распределения FX(x) увеличивается на вероятность в точке разрыва, то выполняется скачок, например, в точке x=1 скачок равен 1/3. Этот скачок можно выразить функцией Хевисайда с коэффициентом 1/3. Такую функцию плотности FX(x) можно выразить через функцию единичного скачка 1(x) . В точках разрыва функция распределения FX(x) увеличивается на вероятность в точке разрыва, то выполняется скачок, например, в точке x=1 скачок равен 1/3. Этот скачок можно выразить функцией Хевисайда с коэффициентом 1/3. - это скачок на 1/3 в точке x=1.

Слайд 19

Описание слайда:

Функцию плотности FX(x) можно записать через функцию единичного скачка 1(x) в следующем виде Функцию плотности FX(x) можно записать через функцию единичного скачка 1(x) в следующем виде производная функции FX(x) : pX(x) = F′X(x) = 1/2 δ(x) + 1/3 δ(x-1) + 1/6 δ(x-2)

Слайд 20

Описание слайда:

3.4. Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа применяется для исследования дифференциальных уравнений. Оно преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое, которое обычно решается проще. Затем полученное решение может быть преобразовано к решению дифференциального уравнения обратным преобразование Лапласа.

Слайд 21

Описание слайда:

Преобразование Лапласа

Слайд 22

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t), определенной для t ≥ 0, называется интегральное преобразование: (для вычисления интеграла обычно требуется брать интеграл по частям). Переменная s комплексная, переменная t тоже может быть комплексной. Преобразованием Лапласа – это оператор L[·] от функции f(t), точнее, интегральный оператор.

Слайд 23

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции единичного скачка (Хевисайда) Решение. При Re s > 0 этот несобственный интеграл сходится и равен -1/s, при Re s ≤ 0 интеграл не существует (интеграл расходится). Таким образом, если Re s > 0 , то

Слайд 24

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции eat Решение. При Re (a-s) < 0 интеграл сходится.

Слайд 25

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Найдем преобразование Лапласа для функции Хевисайда 1(x-a) с параметром a>0. Если Re s > 0, то интеграл сходится и

Слайд 26

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Найдем преобразование Лапласа для функций sin ωt и cos ωt с параметром ω≠0. Интегрирование по частям дает :

Слайд 27

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Переходит к определенному интегралу :

Слайд 28

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Упражнение. Найти преобразование Лапласа для функций f(t) = t, f(t) = t2.

Слайд 29

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Существуют таблицы преобразований Лапласа

Слайд 30

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа 1. Линейность: L(a·f(t) + b·g(t)) = a·L(f(t)) + b·L(g(t)). 2. Свойство сдвига: если Re (s-a) > 0 и L(f) = F, то L(eat f(t)) = F(s-a). 3. Преобразование производной: L(f′) = sL(f) – f(0). 4. Преобразование интеграла: если функция f(t) ограничена экспонентой:

Слайд 31

Описание слайда:

Преобразование Лапласа

Слайд 32

Описание слайда:

Доказательство интегрального свойства (свойство 4) Доказательство интегрального свойства (свойство 4)

Слайд 33

Описание слайда:

(иначе интеграл расходится и преобразования Лапласа не существует) поэтому (иначе интеграл расходится и преобразования Лапласа не существует) поэтому

Слайд 34

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Применяя свойство 3 найдем преобразование Лапласа для дельта-функции δ(t - a), (а>0). Эта функция является производной от функции Хевисайда 1(t - a), мы нашли, что Тогда по свойству 3

Слайд 35

Описание слайда:

3.5.Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа Применение преобразования Лапласа к диф уравнению RC-цепи. x(t) = С*R * y′(t) + y(t) Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. По свойству линейности получаем: L(x(t)) = СR L(y′(t)) + L(y(t)) По свойству преобразования производной: L(x) = СR (sL(y)-y(0)) + L(y), пусть y(0) = k. Отсюда L(x) = L(y)(1+CRs) – CRk То есть

Слайд 36

Описание слайда:

Если задана функция x(t), то это выражение дает решение исходного дифференциального уравнения (но это Лаплас–образ решения!). Если задана функция x(t), то это выражение дает решение исходного дифференциального уравнения (но это Лаплас–образ решения!). Преобразование Лапласа дифференциального уравнения привело к простому алгебраическому уравнению. Теперь нужно вернуться к исходной переменной t, то есть требуется провести обратное преобразование. Пусть CR=1, x(t) = cos t, k=y(0) = 0. Тогда

Слайд 37

Описание слайда:

Применяя таблицу преобразования Лапласа, получаем Применяя таблицу преобразования Лапласа, получаем

Слайд 38

Описание слайда:

Пример. Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению колебания : Пример. Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению колебания : y′′(t) + ω2y(t) = r(t) Дважды применяя свойство преобразования производной, получаем s2 Y(s) – sy(0) – y′(0) + ω2Y(s) = R(s), где Y и R обозначают Лаплас-образы соответствующих функций. Решая полученное алгебраическое уравнение, получаем

Слайд 39

Описание слайда:

Пусть ω =1, y(0) = y’(0)=1, r(t) = sin 2t. Пусть ω =1, y(0) = y’(0)=1, r(t) = sin 2t. Тогда

Слайд 40

Описание слайда:

Графики входного и выходного сигналов : Графики входного и выходного сигналов :

Слайд 41

Описание слайда:

3.6. Обратное преобразование Лапласа Преобразования Лапласа содержит интеграл с пределами интегрирования от 0 до +∞. Будем предполагать, что функция f(t) = 0 для t < 0. Обратным преобразованием Лапласа функции F(s) называется интегральное преобразование где путь интегрирования идет вдоль прямой линии C: Re s = c, c = const

Слайд 42

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Прямая линии C: Re s = c, c = const имеет график

Слайд 43

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику 1) Если контур замкнут и комплексная функция f(z), z=x+iy имеет производные всех порядков по x, по у и смешанные производные (аналитическая функция), то

Слайд 44

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику 2) Если комплексная функция f(z) имеет эти производные во всех точках внутри контура, кроме точки z0=(x0, y0) то

Слайд 45

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику Если , g(z) – аналитическая функция, то вычет в точке a=(x0, y0) равен g(a), то есть интеграл

Слайд 46

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти интеграл по контуру от комплексной функции

Слайд 47

Описание слайда:

Слайд 48

Описание слайда:

Слайд 49

Описание слайда:

Слайд 50

Описание слайда:

Слайд 51

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование Лапласа функции Требуется вычислить интеграл

Слайд 52

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Рациональную функцию F(s) интегрируют простыми правилами. 1) F(s) разлагается в сумму простых дробей, коэффициенты (в нашем случае k1, k2 ) вычисляют решением линейных уравнений.

Слайд 53

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Преобразование Лапласа от свертки

Слайд 54

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа В частности, для свертки с импульсом получается:

Слайд 55

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Покажем, что :

Слайд 56

Описание слайда:

3.7.z-преобразование Цифровая обработка сигналов есть не что иное, как обработка последовательностей (дискретных значений сигнала). Для обработки непрерывных функций существует мощный математический аппарат, построенный на базе преобразований Лапласа и Фурье. Но применение этих преобразований к последовательности невозможно. Оно производится только над функциями. z-преобразование является, в некотором смысле, аналогом преобразования Лапласа для последовательностей. z-преобразование (двухстороннее) последовательности x(n) задается следующей формулой:

Слайд 57

Описание слайда:

z-преобразование При помощи z-преобразования из дискретной последовательности получается непрерывная функция. При этом необходимо заметить, что это функция комплексного переменного. Она определена на комплексной плоскости , ее значения - тоже комплексные величины. Данное преобразование называется прямым. Существует и обратное z-преобразование, когда из функции комплексного переменного может быть получена исходная последовательность, но такое преобразование используется редко. Если преобразование Лапласа применяется для решения дифференциальных уравнений, то z-преобразование – для решения разностных уравнений.