🗊Презентация Математическое моделирование

Математическое моделирование Правила округления чисел

Значащие цифры Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам. Так в числе 0,008050 – четыре значащих цифры, а в 0,00805 – три (первые три нуля не являются значащими, а обозначают только разряды)

Верные знаки Верной цифрой называют ту цифру в числе, за точность которой можно ручаться. Поэтому в точном числе все цифры являются верными. Говорят, что n первых значащих цифр (десятичных знаков) приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n -й значащей цифрой, считая слева направо. Например, для точного числа A =35,97 число a =36,00 является приближением с тремя верными знаками, так как

Верные знаки Приближенное число 1,5 отличается от 1,50. Запись 1,5 означает, что истинным числом может быть, например, 1,53 или 1,48, при этом верными являются цифры целых и десятых. Запись 1,50 означает, что верными являются и сотые доли, а число может быть 1,503 или 1,498, но не 1,531 и не 1,482.

Верные знаки Бывают приближенные числа другого происхождения, например число  = 3,14159… или величина ускорения свободного падения g и др. Указанные величины не являются абсолютно точными и следует учесть их погрешность в общем результате измерений. Оценка этих погрешностей осуществляется на основе следующего правила: абсолютную погрешность нужно принимать равной половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе. Это следует из соображений того, что в большинстве случаев последняя цифра в числе не является точной. Таким образом, если используется значение  = 3,142, то Δ = 0,0005.

Правило округления числа В первую очередь ограничиваются значащие цифры погрешности, при этом она записывается всегда с одной или двумя значащими цифрами из следующих соображений. Сама по себе величина случайной погрешности измерений является случайным числом (если провести измерения повторно, то получится и другая оценка для погрешности). А раз погрешность является случайной величиной, то, используя законы математической статистики, для нее можно определить доверительный интервал и этот интервал оказывается весьма широким. При числе измерений n>10, относительная ошибка погрешности более 30 %. В связи с этим существует рекомендация записывать две значащие цифры, если первая из них 1 или 2, и одну значащую цифру, если она больше 3. После определения разряда погрешности, результат вычислений округляется до того же разряда, что и у погрешности.

ТЕОРЕМА. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Если положительное приближенное число a имеет n верных десятичных знаков, то относительная погрешность δ этого числа не превосходит деленную на первую значащую цифру данного числа, т.е. где αm - первая значащая цифра числа a.

ТЕОРЕМА. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа Следствие. Если число a имеет больше двух верных знаков, т.е. , то практически справедлива формула где αm - первая значащая цифра числа a.

Примеры Пример 1. Какова предельная относительная погрешность, если вместо числа π взять число a =3,14? Решение. В нашем случае αm =3 и n =3. Следовательно,

Примеры Пример 2. Со сколькими десятичными знаками надо взять , чтобы погрешность не превышала 0,1 %? Решение. Так как первая цифра 4, то αm =4, причем δ = 0,001. Имеем Отсюда