Применение производной к исследованию функции - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Применение производной к исследованию функции, слайд №1

Применение производной к исследованию функции, слайд №2

Применение производной к исследованию функции, слайд №3

Применение производной к исследованию функции, слайд №4

Применение производной к исследованию функции, слайд №5

Применение производной к исследованию функции, слайд №6

Применение производной к исследованию функции, слайд №7

Применение производной к исследованию функции, слайд №8

Применение производной к исследованию функции, слайд №9

Применение производной к исследованию функции, слайд №10

Применение производной к исследованию функции, слайд №11

Применение производной к исследованию функции, слайд №12

Применение производной к исследованию функции, слайд №13

Применение производной к исследованию функции, слайд №14

Применение производной к исследованию функции, слайд №15

Применение производной к исследованию функции, слайд №16

Применение производной к исследованию функции, слайд №17

Применение производной к исследованию функции, слайд №18

Применение производной к исследованию функции, слайд №19

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Применение производной к исследованию функции. Доклад-сообщение содержит 19 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Тема: «Применение производной к исследованию функции»

Слайд 2

Описание слайда:

Применение производной к исследованию функции

Слайд 3

Описание слайда:

Признак возрастания (убывания)функции Достаточный признак возрастания функции. Если f ’ (x)>0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f ’ (x)< 0 в каждой I, то функция убывает на I. Если f ’ (x)= 0 в каждой точке интервала I, то f является постоянной (константой)на интервале I.

Слайд 4

Описание слайда:

Промежутки возрастания, убывания

Слайд 5

Описание слайда:

Пример: Найти промежутки возрастания и убывания функции. Построить график f (x)=x3 – 27x

Слайд 6

Описание слайда:

Решение: Решение: Данная функция определена на множестве всех действительных чисел. Из равенства f ’ (x)=3x2 – 27x следует, что f ’ > 0, если 3x2 – 27 > 0. Решаем это неравенство методом интервалов, получим: 3x2 – 27 >0, 3 (x2 – 9) >0, 3 (x – 3)(x + 3) >0. Получили, что f ’ > 0 на интервале (- ∞; -3) и (3; + ∞) и значит, на этих интервалах функция f возрастает. Аналогично f ’ < 0 на интервале (-3; 3), поэтому на этом интервале f убывает. Вычисляем значение функции в точках -3 и 3. f(-3)=(-3)2 – 27*(-3)= -27+81=54; f(3)=27-81=-54.

Слайд 7

Описание слайда:

На координатной плоскости отметим точки М (-3; 54) и N (3; 54) и нарисуем проходящий через них график функции, возрастающей на интервалах (-∞; -3) и (3; +∞) и убывающей на интервале (-3; 3). На координатной плоскости отметим точки М (-3; 54) и N (3; 54) и нарисуем проходящий через них график функции, возрастающей на интервалах (-∞; -3) и (3; +∞) и убывающей на интервале (-3; 3). Функция f, непрерывна в точке -3 и 3, возрастает на промежутке (- ∞; -3], [3; +∞) и убывает на отрезке [-3; 3]

Слайд 8

Описание слайда:

Критические точки функции, максимума и минимума Внутренние точки D(f) функции, в которой ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (только они могут быть точками экстремума). Необходимое условие экстремума. Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f, то она равна нулю: f ’ (x0)= 0. Признаки максимума функции. Если функция f непрерывна в точке x0 , а f ’ (x) > 0 на интервале (а, х0) и f ’ (x) < 0 на интервале(х0, b), то точка x0 является точкой максимума функции f. (Если в точке x0 производная меняется знак с «+» на «-», то x0 есть точка максимума) Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке x0 , а f ’ (x) 0 на интервале(х0, b), то точка x0 является точкой минимума функции f. (Если в точке x0 производная меняется знак с «-» на «+», то x0 есть точка минимума)

Слайд 9

Описание слайда:

Точки экстремума и значение функции в этих точках

Слайд 10

Описание слайда:

Пример: Найти критические точки функции. Определить, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума. f (x) = 9+8x2-x4

Слайд 11

Описание слайда:

Решение: Решение: f ’ =16х – 4х3; f ’ (х) определена во всех точках, f ’ = 0, 16х – 4х3 = 0, 4х (4 – х2) = 0, х=0 или (2-х)(2+х)=0 х=0, х =-2, х=2. В точке 0 производная меняет знак с «-» на «+» (f ’(х) < 0 при х Є (-∞;-2) U (-2; 0) и f ’(х) > 0 при х Є (0; 2) U (2; +∞)). Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка 0 является точкой минимума fmin(x) = f(0) = 9.

Слайд 12

Описание слайда:

Наибольшее и наименьшее значение функции Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее значение функции. Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)= x4 – 8x2 – 9 на промежутках [-1; 1] [0; 3].

Слайд 13

Описание слайда:

Решение: Находим критические точки. Т.к. производная f ’ = 4х3-16х определена для любого х. Остается решить уравнение f ’(х)=0. 4х3-16х=0, 4х(х2-4)=0, х=0 или (х-2)(х+2)=0, х=0, х=2, х=-2. Выбираем наибольшее и наименьшее из чисел f(0)= -9, f(2)=-25, f(-1)=-16, f(1)=-16, f(3)=0. Критическая точка -2 не принадлежит указанным промежуткам. Наибольшее значение достигается в точке 3 и равно 0, а наименьшее в точке 2 и равно -25. max f(x)=f(3) = 0 min f(x) = f(2) = -25 [-1; 1]и [0; 3] [-1; 1]и [0; 3]

Слайд 14

Описание слайда:

Применение исследования на наибольшее (наименьшее) значение функции к решению прикладных задач Для этого: 1.Задача «переводится» на язык функции. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f (x); 2. Средствами анализа находится наибольшее и наименьшее значение этой функции на некотором промежутке; 3. Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

Слайд 15

Описание слайда:

Пример: Кусок проволоки длинной 48 м сгибается так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее значение Пример: Кусок проволоки длинной 48 м сгибается так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее значение

Слайд 16

Описание слайда:

Решение: 1. Обозначим через х длину стороны прямоугольника, а вторая сторона равна (24-х). Тогда площадь равна S(x) = х(24 - х). По смыслу задачи 0 < x < 24, таким образом, мы свели поставленную задачу к следующей: найти наибольшее значение функции S(x) = х(24 - х) на интервале (0; 24). 2. Правило нахождения наименьших и наибольших значений функции было сформировано на отрезке. Функция S(x) непрерывна на всей числовой прямой; мы будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0; 24], потом сделаем выводы для решаемой задачи. Находим критические точки функции: S’(x) = 24 – 2х, S’(x)=0, 24-2х=0, х=12, S(12) = 12*(24 - 12) = 144. Т.к. S(0)=0 и S(24)=0, своего наибольшего значения на отрезке [0; 24] функция S достигает при х=12, т.е. max S(x)= S(12)=144. Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; 24], а следовательно, и внутри интервала (0; 24). 3. Вспомним что х – длина стороны прямоугольника, имеющей при заданных условиях максимально возможную площадь. Полученый результат означает, что максимальную площадь имеет коробка со стороной 12 см и 12 см, т.е. квадрат.

Слайд 17

Описание слайда:

Практическое применение к исследованию функции Пример: Исследовать функцию y= f (x) = 3x5 – 5x3 + 2 и построить ее график Схема исследования: Найти область определения Выяснить, является функция четной или нечетной Найти точки пересечения с осями Найти промежутки возрастания, убывания Найти точки экстремума и значение функции в этих точках Построить график

Слайд 18

Описание слайда:

Пример: Исследовать функцию y=f(x)= 3x5 – 5x3 + 2 и построить ее график. Пример: Исследовать функцию y=f(x)= 3x5 – 5x3 + 2 и построить ее график. Решение: D(y)=R Функция ни четная, ни нечетная Точки пересечения с осями: график f(x) пересекается с осью ординат в точке (0; 2). Найдем точки пересечения с осью абсцисс, для этого решим уравнение 3х5 – 5х3 + 2 = 0, один из корней которого (х=1) легко находится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс находить не будем. Промежутки монотонности: f ’ (x) = 15x4 – 15x2 = 15 x2 (x2-1) Точки экстремума и значение функции в этих точках: x max= -1 x min = 1 f(-1) = 4 f(1) = 0