Несобственные интегралы - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Несобственные интегралы. Доклад-сообщение содержит 24 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

§4. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: 1) [a;b] – конечен, 2) f(x) – ограничена (необходимое условие существования определенного интеграла). Несобственные интегралы – обобщение понятия определенного интеграла на случай когда одно из этих условий не выполнено.

Слайд 3

Описание слайда:

1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку) Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ).  y = f(x) непрерывна на [a;b], где b  a .  существует Имеем: D(I) = [a;+ ) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом I рода от функции f(x) по промежутку [a;+) называется предел функ- ции I(b) при b  +  . Обозначают:

Слайд 4

Описание слайда:

Таким образом, по определению Таким образом, по определению (1) При этом, если предел в правой части формулы (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае (т.е. если предел не существует или равен бесконечности) несобственный интеграл называют расходящимся. Если y = f(x) непрерывна на (–;b] , то аналогично определя- ется и обозначается несобственный интеграл I рода для функции f(x) по промежутку (– ;b]:

Слайд 5

Описание слайда:

Если y = f(x) непрерывна на ℝ , то несобственным интегралом I рода для функции f(x) по промежутку (– ;+ ) называют Если y = f(x) непрерывна на ℝ , то несобственным интегралом I рода для функции f(x) по промежутку (– ;+ ) называют (2) где c – любое число. Несобственный интеграл от f(x) по промежутку (–;+) называется сходящимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (2) сходятся. В противном случае, несобственный интеграл по промежутку (– ;+ ) называется расходящимся. Будем рассматривать несобственные интегралы I рода по промежутку [a;+ ). Для интегралов по промежутку (– ;b] и (–;+) все полученные результаты останутся справедливы.

Слайд 6

Описание слайда:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов I рода. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов I рода. Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ) и f(x)  0 , x[a;+ ). Тогда – площадь криволинейной трапеции с осно- ванием [a;b], ограниченной сверху кривой y = f(x). Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;+ ) сходится и равен S , то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой y = f(x) и прямой x = a (криволинейная трапеция с бесконечным основанием) имеет площадь S. В противном случае говорить о площади указанной области нельзя.

Слайд 7

Описание слайда:

На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся некоторые свойства определенных интегралов На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся некоторые свойства определенных интегралов (свойства 4, 5, 6, 7, 8). Кроме того, для несобственных интегралов существует обобщение формулы Ньютона – Лейбница. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;+ ). Тогда b[a;+ ) имеем (3)

Слайд 8

Описание слайда:

Обозначим Обозначим Тогда (3) примет вид: (4) Формулу (4) называют обобщением формулы Ньютона – Лейбница для несобственных интегралов по промежутку [a;+ ). Аналогично для несобственных интегралов по промежутку (–;b] доказывается справедливость формулы

Слайд 9

Описание слайда:

ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

Слайд 10

Описание слайда:

2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода ТЕОРЕМА 1 (первый признак сравнения). Пусть f(x) и (x) непрерывны на [a;+) и 0  f(x)  (x) , x[c; +) (где c  a). Тогда: 1) если – сходится, то тоже сходится, причем 2) если – расходится, то тоже рас- ходится.

Слайд 11

Описание слайда:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 1: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 1: Пусть (σ1) и (σ2) – области в xOy , ограниченные осью Ox, прямой x = c и кривыми y = (x) и y = f(x) соответственно. Неравенство 0  f(x)  (x) (где x[c;+ )) означает, что область (σ2) является частью области (σ1).  1) если область (σ1) имеет площадь, то ее часть (σ2) тоже имеет площадь; 2) если говорить о площади области (σ2) нельзя, то и для содержащей ее области (σ1) тоже нельзя говорить о площади.

Слайд 12

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 2 (второй признак сравнения) ТЕОРЕМА 2 (второй признак сравнения) Пусть f(x) и (x) непрерывны и неотрицательны на [a;+ ). Если где h – действительное число, отличное от нуля, то интегралы ведут себя одинаково относительно сходимости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Слайд 13

Описание слайда:

Замечания. Замечания. 1) Теорема 2 остается справедливой и в том случае, если f(x) и (x) непрерывны и СОХРАНЯЮТ ЗНАК на [a;+ ). 2) При использовании теорем 1 и 2 в качестве «эталонных» интегралов обычно используют следующие несобственные интегралы:

Слайд 14

Описание слайда:

Пусть f(x) непрерывна на [a;+ ). Пусть f(x) непрерывна на [a;+ ). Тогда определены несобственные интегралы ТЕОРЕМА 3 (признак абсолютной сходимости). Если сходится интеграл , то и интеграл тоже будет сходиться. При этом интеграл называется абсолютно сходящимся. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Если расходится, то об интеграле ничего сказать нельзя. Он может расходиться, а может и сходиться. Если расходится, а – сходится, то интеграл называют условно сходящимся.

Слайд 17

Описание слайда:

3. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций) Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и  y = f(x) непрерывна на [a;b1], где a  b1

Слайд 18

Описание слайда:

Таким образом, по определению Таким образом, по определению (5) При этом, если предел в правой части формулы (5) существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае (т.е. если предел не существует или равен бесконечности) несобственный интеграл называют расходящимся. Если y = f(x) непрерывна на (a;b] и , то аналогично определяется и обозначается несобственный интеграл II рода по промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной в точке a :

Слайд 19

$Если y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бес- конечного разрыва функции, то несобственным интегралом II рода от функции f(x) по...$

Описание слайда:

Если y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бес- конечного разрыва функции, то несобственным интегралом II рода от функции f(x) по промежутку [a;b] называют Если y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бес- конечного разрыва функции, то несобственным интегралом II рода от функции f(x) по промежутку [a;b] называют (6) Несобственный интеграл по промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной внутри этого отрезка, называется сходя- щимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (6) сходятся. В противном случае, несобственный интеграл по промежутку [a;b] называется расходящимся. Будем рассматривать несобственные интегралы II рода по промежутку [a;b] от функции, неограниченной в точке b . Для других несобственных интегралов II рода все полученные результаты останутся справедливы.

Слайд 20

Описание слайда:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов II рода. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов II рода. Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и f(x)  0 , x[a;b) . Тогда – площадь криволинейной трапеции с осно- ванием [a;b1], ограниченной сверху кривой y = f(x). Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;b] сходится и равен S , то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой y = f(x) и прямыми x = a, x = b (неограниченная криволинейная трапеция) имеет площадь S. В противном случае говорить о площади указанной области нельзя.

Слайд 21

Описание слайда:

На сходящиеся несобственные интегралы II рода переносятся те же свойства определенных интегралов, что и для сходящихся интегралов I рода (свойства 4, 5, 6, 7, 8). На сходящиеся несобственные интегралы II рода переносятся те же свойства определенных интегралов, что и для сходящихся интегралов I рода (свойства 4, 5, 6, 7, 8). Кроме того, для несобственных интегралов II рода также существует обобщение формулы Ньютона – Лейбница. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;b) . Тогда b1[a;b) имеем (7)

Слайд 22

Описание слайда:

Ранее вводили обозначение: Ранее вводили обозначение: Тогда (7) примет вид: (8) Формулу (8) называют обобщением формулы Ньютона – Лейбница для несобственных интегралов II рода от функций, неограниченных в точке b. Аналогично для несобственных интегралов II рода от функций, неограниченных в точке a, доказывается справедливость формулы

Слайд 23

Описание слайда:

ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: Сформулированные в п.2 признаки сходимости несобственных интегралов (теоремы 1, 2 и 3) останутся справедливы и для несобственных интегралов II рода. При использовании теорем 1 и 2 в роли «эталонных» интегралов используют интегралы

Слайд 24

Описание слайда:

Замечание. Замечание. Некоторым расходящимся несобственным интегралам можно приписать определенное числовое значение. А именно: 1) Если – расходится, но , то число A называют главным значением этого несоб- ственного интеграла. 2) Главным значением расходящегося интеграла от функции, имеющей бесконечный разрыв в точке c[a;b] называют число A, равное Обозначают соответствено:

Теги Несобственные интегралы

Похожие презентации