Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о

Нажмите для полного просмотра!

Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о, слайд №2

Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о, слайд №3

Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о, слайд №4

Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о, слайд №5

Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о, слайд №6

Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о, слайд №7

Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о, слайд №8

Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о, слайд №9

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры о. Доклад-сообщение содержит 30 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

2.14-16. Квантовые алгоритмы Монте-Карло в непрерывном времени Представление взаимодействия. Общая формулировка CTWL-алгоритма. Процедуры обновления конфигураций. Расчет средних

Слайд 2

Описание слайда:

Недостатки дискретных методов Одной из главных проблем дискретных по мнимому времени квантовых методов Монте-Карло является погрешность троттеровского разложения: Систематическая погрешность разложения приводит к невозможности расчетов при достаточно низких температурах; кроме того, проблема неэргодичности схем расчета траекторных методов, связанная с локальностью алгоритма шахматной доски и трудностями расчета winding numbers, функций Грина и других нелокальных корреляторов, а также с работой алгоритма при постоянном числе частиц, тоже ограничивает эффективность использования дискретных методов Малая вероятность обновления траекторий. Вероятность создания пары кинк – антикинк:

Слайд 3

Описание слайда:

CTWL-алгоритм В 1996 г. Прокофьев, Свистунов и Тупицын предложили новый квантовый метод МК – траекторный метод в непрерывном времени (английская аббревиатура – CTWL, Continuous-Time World Line) Метод основывается на точном выражении для разбиения статистической суммы в представлении взаимодействия Метод свободен от систематической ошибки, связанной с троттеровским разбиением мнимого времени, и может быть применен для исследования достаточно произвольных решеточных (и не только) моделей; возможны расчеты как в малом, так и большом каноническом ансамблях CTWL-алгоритм напрямую суммирует ряды диаграмм для моделей в дискретном и непрерывном базисах

Слайд 4

Описание слайда:

Представление взаимодействия Разобьем гамильтониан системы на основную часть и возмущение; это разбиение условно и диктуется только конкретной моделью и удобством работы с конкретными базисными функциями Мацубаровский оператор эволюции: Вид операторов в представлении взаимодействия: Уравнение для мацубаровского оператора эволюции: Упорядочение по времени для двух произвольных операторов:

Слайд 5

Описание слайда:

Представление взаимодействия Свойства мацубаровского оператора эволюции: Статистическая сумма системы: Мацубаровская функция Грина в представлении взаимодействия: С учетом временного упорядочения:

Слайд 6

Описание слайда:

Ряд возмущений для статистической суммы Разложение по степеням возмущения для мацубаровского оператора эволюции: Выражение для статистической суммы: Дискретный аналог:

Слайд 7

Описание слайда:

Общая формулировка CTWL-алгоритма Недиагональная часть гамильтониана: Разложение оператора эволюции: Теперь мгновенную конфигурацию системы составляет совокупность кинков с соответствующими энергиями переходов и временными интервалами

Слайд 8

Описание слайда:

Общая формулировка CTWL-алгоритма

Слайд 9

Описание слайда:

Общая формулировка CTWL-алгоритма Главный элемент конфигурации – кинк сорта s и его параметры – матричный элемент, диагональная энергия переходов и его положение на временной шкале: Фактически CTWL-метод Монте-Карло производит полное суммирование фейнмановских диаграмм

Слайд 10

Описание слайда:

CTWL-алгоритм для дискретного базиса Удобным базисом для узельной модели является представление чисел заполнения, так что за возмущение выбирается недиагональная в этом базисе кинетическая энергия, и тогда кинком является перескок частицы между узлами: Каждый кинк вносит в статистический вес малый множитель ~dτ, но это не препятствует вычислениям – взвешивается не отдельная конфигурация, а их совокупность в некотором интервале. Малость статистического веса в точности компенсируется большим количеством возможных топологически равных конфигураций, отличающихся только расположением времен на шкале мнимого времени

Слайд 11

Описание слайда:

Общая формулировка CTWL-алгоритма Вид мгновенных конфигураций для ферми- и бозе-систем:

Слайд 12

Описание слайда:

Общая формулировка CTWL-алгоритма Простейший способ изменения конфигурации – процедура kink-antikink: Помимо процедуры kink-antikink требуются глобальные обновления системы, изменяющие числа оборотов траекторий

Слайд 13

Описание слайда:

Общая формулировка CTWL-алгоритма Проводить вычисления более удобно в большом каноническом ансамбле, т.е. с нефиксированным числом частиц. Для того чтобы схема могла работать с переменным числом частиц, в гамильтониан можно ввести фиктивное слагаемое: Фиктивному слагаемому в гамильтониане соответствуют кинки, создающие разрывы траекторий. При расчете физических величин учитываются только те конфигурации, в которых нет разрывов траекторий. Фиктивные конфигурации используются только как промежуточные для эффективного обновления реальных конфигураций

Слайд 14

Описание слайда:

Общая формулировка CTWL-алгоритма Теперь множество вариантов конфигураций с замкнутыми траекториями оказалось дополненным фиктивными конфигурациями траекторий с разрывами Разрывы, перемещаясь по системе, могут встречаться и взаимно уничтожаться на любом узле, изменяя полное число частиц в системе и числа оборотов траекторий. Разомкнутые траектории с разрывами называются червями (worms), а сам алгоритм называется червячным алгоритмом (worm algorithm) Фиктивные (виртуальные) состояния с присутствием червей чрезвычайно ускоряют сходимость

Слайд 15

Описание слайда:

Общая формулировка CTWL-алгоритма Мгновенные конфигурации мировых линий с разрывами:

Слайд 16

Описание слайда:

Общая формулировка CTWL-алгоритма Квантово-механические средние от физических величин по-прежнему вычисляются по состояниям без разрывов Фиктивные состояния также несут физическую информацию, например, они отражают статистику мацубаровской функции Грина Главные процессы обновления траекторий, формирующие статистику, – процедуры изменения состояний разрывов траекторий (червей) В статистический вес конфигурации без разрывов множитель η не входит, а потому соотношения между статистическими весами состояний без червей остаются неизменными. Следовательно, значение η можно выбирать произвольно, исходя из соображений удобства и скорости расчета В зависимости от задачи можно либо ввести ограничение на количество червей в системе, либо допустить возможность появления произвольного числа червей

Слайд 17

Описание слайда:

Процедура creation-annihilation Пара процессов creation-annihilation: Статистический вес новой конфигурации: Уравнение детального баланса: Согласно алгоритму Метрополиса

Слайд 18

Описание слайда:

Процедура creation-annihilation Такая реализация процедуры неэффективна: Нужно сравнивать не две конкретные конфигурации, а классы конфигураций Временное окно для класса конфигураций:

Слайд 19

Описание слайда:

Процедура рождения пары кинк-антикинк Процедуры рождения и уничтожения пары кинк-антикинк с изменением чисел заполнения:

Слайд 20

Описание слайда:

Процедура рождения пары кинк-антикинк Формулы для балансного уравнения:

Слайд 21

Описание слайда:

Процедуры jump-antijump и reconnection-antireconnection

Слайд 22

Описание слайда:

Процедуры jump-antijump и reconnection-antireconnection Процедура jump-antijump – процесс переброса хвоста траектории на другой пространственный узел Сравним теперь исходную траекторию с прямым хвостом с классом траекторий, у которых прыжок червя (кинк) не фиксирован по времени

Слайд 23

Описание слайда:

Процедуры jump-antijump и reconnection-antireconnection Для класса траекторий:

Слайд 24

Описание слайда:

Процедура shift Процедура сдвига не нуждается в обратном процессе, потому что самf себе служит обратным процессом Процедура сдвига происходит безусловно

Слайд 25

Описание слайда:

Схема алгоритма Формируется начальная конфигурация – это могут быть, например, прямые замкнутые линии без перескоков. Можно взять в качестве начального состояния вообще пустое пространство с отсутствием частиц или любую другую допустимую конфигурацию Случайным образом выбирается тип процедуры Выбирается место действия процедуры и границы временного окна Рассчитываются коэффициента и нормировочные множители В зависимости от значения R процесс случайным образом принимается или отвергается Для некоторых процессов определяются временные точки Рассчитываются и суммируются необходимые средние от физических величин. Затем процесс повторяется, начиная с п. 2 Все погрешности величин рассчитываются в соответствии с автокорреляционным анализом

Слайд 26

Описание слайда:

Слайд 27

Описание слайда:

Расчет средних Среднее значение оператора: Кинетическая энергия: Диагональные средние, например число частиц, потенциальная энергия, рассчитываются легко. Для этого следует на каждом диагональном участке траекторий рассчитать произведение значения соответствующего оператора на этом участке на длину этого участка, и затем усреднить результат по всей конфигурации:

Слайд 28

Описание слайда:

Расчет средних Для расчета недиагональных средних следует производить сбор статистики по фиктивным состояниям. Сбор гистограммы по взаимному пространственно-временному положению двух хвостов червя приводит к расчету температурной функции Грина: и ее предельного случая при равных временах – матрицы плотности: Нормировка:

Слайд 29

Описание слайда:

Примеры расчетов при помощи CTWL-алгоритма Фазовая диаграмма редуцированной одномерной модели Бозе – Хаббарда:

Слайд 30

Описание слайда:

Примеры расчетов при помощи CTWL-алгоритма Эволюция одночастичной матрицы плотности в зависимости от плотности системы в двумерной модели Бозе – Хаббарда: