Основной математический аппарат - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Основной математический аппарат, слайд №1

Основной математический аппарат, слайд №2

Основной математический аппарат, слайд №3

Основной математический аппарат, слайд №4

Основной математический аппарат, слайд №5

Основной математический аппарат, слайд №6

Основной математический аппарат, слайд №7

Основной математический аппарат, слайд №8

Основной математический аппарат, слайд №9

Основной математический аппарат, слайд №10

Основной математический аппарат, слайд №11

Основной математический аппарат, слайд №12

Основной математический аппарат, слайд №13

Основной математический аппарат, слайд №14

Основной математический аппарат, слайд №15

Основной математический аппарат, слайд №16

Основной математический аппарат, слайд №17

Основной математический аппарат, слайд №18

Основной математический аппарат, слайд №19

Основной математический аппарат, слайд №20

Основной математический аппарат, слайд №21

Основной математический аппарат, слайд №22

Основной математический аппарат, слайд №23

Основной математический аппарат, слайд №24

Основной математический аппарат, слайд №25

Основной математический аппарат, слайд №26

Основной математический аппарат, слайд №27

Основной математический аппарат, слайд №28

Основной математический аппарат, слайд №29

Основной математический аппарат, слайд №30

Основной математический аппарат, слайд №31

Основной математический аппарат, слайд №32

Основной математический аппарат, слайд №33

Основной математический аппарат, слайд №34

Основной математический аппарат, слайд №35

Основной математический аппарат, слайд №36

Основной математический аппарат, слайд №37

Основной математический аппарат, слайд №38

Основной математический аппарат, слайд №39

Основной математический аппарат, слайд №40

Основной математический аппарат, слайд №41

Основной математический аппарат, слайд №42

Основной математический аппарат, слайд №43

Основной математический аппарат, слайд №44

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Основной математический аппарат. Доклад-сообщение содержит 44 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

3. Основной математический аппарат

Слайд 2

Описание слайда:

3.1. δ – функция Дирака В 1930 году для решения задач теоретической физики английскому физику П. Дираку, одному из основателей квантовой механики, не хватило аппарата классической математики, и он ввел новый объект, названный “дельта-функцией”, который выходил за рамки классического определения функции.

Слайд 3

Описание слайда:

δ – функция Дирака П. Дирак определил дельта-функцию δ(x) следующим образом: Кроме того задается условие:

Слайд 4

Описание слайда:

δ – функция Дирака

Слайд 5

Описание слайда:

δ – функция Дирака

Слайд 6

Описание слайда:

δ – функция Дирака Чем более узкой сделать полоску между левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т.е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия δ(x) = 0 при x ≠ 0, то есть функция приближается к дельта-функции. Такая функция широко применяется в радиофизике.

Слайд 7

Описание слайда:

δ – функция Дирака δ(x) не является функцией в обычном смысле, так как из этого определения следуют несовместимые условия с точки зрения классического определения функции и интеграла:

Слайд 8

Описание слайда:

δ – функция Дирака Функции, из которых предельным переходом получается δ – функция могут быть непрерывными и разрывными. Импульс в электротехнике – это одиночный, кратковременный скачок электрического тока или напряжения. В математической модели импульс соответствует δ – функции.

Слайд 9

Описание слайда:

Функция единичного скачка Определим функцию единичного скачка, которая называется еще функцией Хевисайда: Ee график 1 x 0

Слайд 10

Описание слайда:

Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме x=0. В этой точке предел отношения приращения функции и приращению аргумента уходит на бесконечность. Если построить последовательность кусочно-линейных функций вида, Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме x=0. В этой точке предел отношения приращения функции и приращению аргумента уходит на бесконечность. Если построить последовательность кусочно-линейных функций вида, 1 x 0

Слайд 11

Описание слайда:

то очевидно, что производными для таких функций служат ступенчатые функции (прямоугольные импульсы !), последовательность которых стремится к δ-функции. Таким образом, производной функции Хевисайда является δ-функция. то очевидно, что производными для таких функций служат ступенчатые функции (прямоугольные импульсы !), последовательность которых стремится к δ-функции. Таким образом, производной функции Хевисайда является δ-функция. Применение функции Хевисайда и δ-функции сохраняет математических свойств в приложениях (например, в теории вероятностей) и позволяет применять аппарат математического анализа.

Слайд 12

Описание слайда:

3.2. Функция распределения дискретной случайной величины Пусть дискретная случайная величина X(ω) принимает три значения x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 с вероятностями:

Слайд 13

Описание слайда:

Функция распределения дискретной случайной величины Тогда функция распределения FX(x) дискретной случайной величины X(ω) по определению равна FX(x) = P{X(ω) ≤ x}, она равна

Слайд 14

Описание слайда:

Функция распределения дискретной случайной величины График этой функция распределения FX(x):

Слайд 15

Описание слайда:

Функция распределения дискретной случайной величины Как известно из теории вероятностей, производной такой функция распределения FX(x) не существует, то есть случайная величина X(ω) не имеет функции плотности распределения pX(x) = F′X(x). Но применяя δ-функцию, можно построить функции плотности распределения pX(x) и для X(ω).

Слайд 16

Описание слайда:

Функция распределения дискретной случайной величины Для построения функции плотности pX(x) вначале построим функцию распределения FX(x) с использованием функции единичного скачка График функции а 1( x – c ) a x 0 с

Слайд 17

Описание слайда:

Вернемся к функции распределения FX(x): Вернемся к функции распределения FX(x):

Слайд 18

Описание слайда:

Функция распределения дискретной случайной величины Такую функцию плотности FX(x) можно выразить через функцию единичного скачка 1(x) . В точках разрыва функция распределения FX(x) увеличивается на вероятность в точке разрыва, то выполняется скачок, например, в точке x=1 скачок равен 1/3. Этот скачок можно выразить функцией Хевисайда с коэффициентом 1/3. - это скачок на 1/3 в точке x=1.

Слайд 19

Описание слайда:

Функция распределения дискретной случайной величины Функцию плотности FX(x) можно записать через функцию единичного скачка 1(x) в следующем виде производная функции FX(x) : pX(x) = F′X(x) = 1/2 δ(x) + 1/3 δ(x-1) + 1/6 δ(x-2)

Слайд 20

Описание слайда:

Функция распределения дискретной случайной величины Такая функция pX(x) удовлетворяет всем свойствам функции плотности. Ее график приблизительно такой:

Слайд 21

Описание слайда:

3.2. Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа применяется для исследования дифференциальных уравнений. Оно преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое, которое обычно решается проще. Затем полученное решение может быть преобразовано к решению дифференциального уравнения обратным преобразование Лапласа.

Слайд 22

Описание слайда:

Преобразование Лапласа

Слайд 23

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t), определенной для t ≥ 0, называется интегральное преобразование: (обычно требуется брать интеграл по частям). Переменная s комплексная, переменная t тоже может быть комплексной.

Слайд 24

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции единичного скачка (Хевисайда) Решение. При Re s > 0 этот несобственный интеграл сходится и равен -1/s, при Re s 0 интеграл не существует. Таким образом, если Re s > 0 , то

Слайд 25

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции eat Решение. При Re (a-s) > 0 интеграл сходится.

Слайд 26

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Функция Хевисайда от аргумента (x-a) - важная ступенчатая функция, найдем ее Лаплас-образ для a > 0. График этой функции:

Слайд 27

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Найдем преобразование Лапласа для функции Хевисайда с параметром a>0. Если Re s > 0, то интеграл сходится и

Слайд 28

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Существуют таблицы преобразований Лапласа f(t) F(s) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Слайд 29

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа 1. Линейность: L(a·f(t) + b·g(t)) = a·L(f(t)) + b·L(g(t)). 2. Свойство сдвига: если Re (s-a) > 0 и L(f) = F, то L(eat f(t)) = F(s-a). 3. Преобразование производной: L(f′) = sL(f) – f(0). 4. Преобразование интеграла:

Слайд 30

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Применяя свойство 3 найдем преобразование Лапласа для дельта-функции δ(t - a). Эта функция является производной от функции Хевисайда 1(t - a), для которой Тогда

Слайд 31

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Пример. Применение преобразования Лапласа к диф уравнению RC-цепи. x(t) = С*R * y′(t) + y(t) Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. По свойству линейности получаем: L(x(t)) = СR L(y′(t)) + L(y(t)) По свойству преобразования производной: L(x) = СR (sL(y)-y(0)) + L(y), пусть y(0) = k. Отсюда L(x) = L(y)(1+CRs) – CRk То есть

Слайд 32

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Пример. Применение преобразования Лапласа к диф уравнению RC-цепи. Если задана функция x(t), то это выражение дает решение исходного дифференциального уравнения (но это Лаплас –образ решения!). Преобразование Лапласа дифференциального уравнения привело к простому алгебраическому уравнению. Теперь дело за возвратом к исходной переменной t, то есть требуется обратное преобразование.

Слайд 33

Описание слайда:

Преобразование Лапласа Пример. Применение преобразования Лапласа к диф уравнению колебания. y′′(t) + ω2y(t) = r(t) Дважды применяя свойство преобразования производной, получаем s2 Y(s) – sy(0) – y′(0) + ω2Y(s) = R(s), где Y и R обозначают Лаплас-образы соответствующих функций. Решая полученное алгебраическое уравнение, получаем

Слайд 34

Описание слайда:

3.3. Обратное преобразование Лапласа Преобразования Лапласа содержит интеграл с пределами интегрирования от 0 до +∞. Будем предполагать, что функция f(t) = 0 для t < 0. Обратным преобразованием Лапласа функции F(s) называется интегральное преобразование где путь интегрирования идет вдоль прямой линии C: Re s = c, c = const

Слайд 35

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Прямая линии C: Re s = c, c = const имеет график

Слайд 36

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику Интегрирование функции от двух переменных по контуру

Слайд 37

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику Если контур замкнут и функция f(x,y) от двух переменных имеет производные всех порядков по x, по у и смешанные производные, то =0

Слайд 38

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику Если при этом функция f(x,y) от двух переменных имеет производные во всех точках внутри контура, кроме точки z=(x0, y0) то = 2πi Вычет(f(z))

Слайд 39

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику Если , то вычет в точке a=(x0, y0) равен g(a).

Слайд 40

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование Лапласа функции Требуется вычислить интеграл

Слайд 41

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование для F(s) Функцию дробно-рационального вида интегрируют простыми правилами. F(s) разлагается в сумму простых дробей: Коэффициенты k1, k2 вычисляются решением линейных уравнений.

Слайд 42

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование для F(s) Тогда Лаплас прообраз функции F(s): Существуют таблицы обратного преобразования Лапласа

Слайд 43

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Преобразование Лапласа от свертки

Слайд 44

Описание слайда:

Обратное преобразование Лапласа Обратное преобразование Лапласа от свертки. Аналогично прямому преобразованию свертки для обратного справедлива формула L(F(s)G(s)) = f(t)*g(t)