🗊Презентация Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Для наглядности, здесь и далее все определения и утверждения будем формулировать для функции 2-х (или 3-х) переменных. На случай большего числа неизвестных они обобщаются естественным образом. Для наглядности, здесь и далее все определения и утверждения будем формулировать для функции 2-х (или 3-х) переменных. На случай большего числа неизвестных они обобщаются естественным образом. Пусть z = f(x,y) , D(z) = D  xOy , Пусть M0(x0,y0)D . Придадим x0 приращение x, оставляя значение y0 неизмененным (так, чтобы точка M(x0 + x,y0)D). При этом z = f(x,y) получит приращение xz(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0 + x,y0) – f(x0,y0). xz(M0) называется частным приращением функции z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел при x  0 отношения ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел при x  0 отношения (если он существует и конечен) называется частной производной функции z = f(x,y) по переменной x в точке M0(x0,y0). Обозначают: или

Замечания. Замечания. 1) Обозначения и надо понимать как целые символы, а не как частное двух величин. Отдельно взятые выражения z(x0,y0) и x смысла не имеют. 2) характеризует скорость изменения функции z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0) (физический смысл частной производной по x). Аналогично определяется частная производная функции z = f(x,y) по переменной y в точке M0(x0,y0): Обозначают:

Соответствие Соответствие и является функцией, определенной на D1(D2) D(f). Ее называют частной производной функции z = f(x,y) по переменной x (y) и обозначают Операция нахождения для функции z = f(x,y) ее частных производных называется дифференцированием функции z = f(x,y) по переменной x и y соответственно.

Фактически, – это обыкновенная производная функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной переменной x (соответственно y) при постоянном значении другой переменной. Фактически, – это обыкновенная производная функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной переменной x (соответственно y) при постоянном значении другой переменной. Поэтому, вычисление частных производных производится по тем же самым правилам, что и для функции одной переменой. При этом, одна из переменных считается константой.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции двух переменных. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции двух переменных. Пусть функция z = f(x,y) имеет в M0(x0,y0) частную производную по x (y). Пусть поверхность S – график функции z = f(x,y). Тогда где () – угол наклона к оси Ox(Oy) касательной, проведенной в точке P0(x0,y0, f(x0,y0)) к линии пересечения поверхности S и плоскости y = y0 (x = x0).