Определенный интеграл - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Определенный интеграл. Доклад-сообщение содержит 26 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Определенный интеграл. Понятие и свойства

Слайд 2

Описание слайда:

Оглавление Определение Существование определенного интеграла Свойства Формула Ньютона-Лейбница (примеры) Способы решения интеграла: Метод замены переменной (пример) Интегрирование по частям (пример) Приложения определенного интеграла

Слайд 3

Описание слайда:

Определение Определенный интеграл от функции f(x) на [a;b] – это предел её интегральной суммы при max Axi≥0, если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения [a;b] на отрезке [xi-1;xi] и от выбора xi ∈ [xi-1;xi] Обозначение: = Числа a и b – нижний и верхний пределы интеграла f(x) – подынтегральная функция

Слайд 4

Описание слайда:

Существование определенного интеграла Для того чтобы определенный интеграл существовал, достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования. Интеграл не существует, поскольку отрезок интегрирования [-5;-2] не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). тоже не существует, так как в точках х=±, отрезка [-2;3] не существует тангенса.

Слайд 5

Описание слайда:

Свойства определенного интеграла Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: При перестановке пределов интегрирования меняет свой знак на обратный: Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от этих функций: Интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Свойство аддитивности:

Слайд 6

Описание слайда:

Свойства Если функция f(x) интегрируема на [a,b], a

Слайд 7

Описание слайда:

формула Ньютона-Лейбница Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если функция Φ является произвольной первообразной для f(х) на этом отрезке, то Доказательство. Рассмотрим разность Φ(x) − F(x), тогда (Φ(x) − F(x))′ = Φ′(x) − F′(x) = f(x) − f(x) = 0. По свойству первообразных эта разность есть постоянная величина на [a, b], т.е. Φ(x) − F(x) = c. Следовательно, Φ(a) − F(a) = Φ(a) − 0 = c, т.е. c = Φ(a). С другой стороны . Поэтому = F(b) = Φ(b) − c = Φ(b) − Φ(a).

Слайд 8

Описание слайда:

Пример

Слайд 9

Описание слайда:

Замена переменной Пусть дан интеграл , где f(x) –непрерывная на отрезке [a,b] функция. Введем новую переменную, положив x=φ(t). Пусть φ(α)=a, φ(β)=b и значения φ(t) не выходят за пределы [a,b], когда t изменяется на [α,β]. Тогда Действительно, если F`(x)= f(x), то откуда и вытекает доказываемое равенство При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к старой переменной, т.е. делать обратную замену.

Слайд 10

Описание слайда:

Пример

Слайд 11

Описание слайда:

Интегрирование по частям Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда . Интегрируем обе части этого равенства: так как , то Получаем Следовательно, . Полученное равенств, называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Слайд 12

Описание слайда:

Пример Пример: Решение: Положим , . Тогда Получаем:

Слайд 13

Описание слайда:

Приложения определенного интеграла

Слайд 14

Описание слайда:

Оглавление Приложения определенного интеграла: Применение определённого интеграла для вычисления площадей плоских фигур (пример 1), (пример2) Применение определённого интеграла для вычисления объема тела вращения (пример 1), (пример2) Применение определённого интеграла для вычисления длины дуги плоской фигуры (пример) Применение определённого интеграла для вычисления площади поверхности вращения (пример) Список литературы

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Объем тела вращения Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой , отрезком оси ординат и прямыми , вычисляется по формуле

Слайд 19

Описание слайда:

Пример

Слайд 20

Описание слайда:

Пример

Слайд 21

Описание слайда:

Длина дуги кривой Пусть некоторая функция непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой :

Слайд 22

Описание слайда:

Пример Найти длину дуги кривой от до Решение: Вычисляем производную y`=ctg x и подставляем её в формулу

Слайд 23

Описание слайда:

Площадь поверхности вращения кривой Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ox , где x ∈ [a,b]. Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла: Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую x=F(y) вокруг оси Oy , где y ∈ [c,d] В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

Слайд 24

Описание слайда:

Пример Вычислить площадь поверхности тела, полученного вращением параболы вокруг оси Ox на промежутке 0≤x≤4. Решение: вычислим площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви y=оси абсцисс. Используем формулу Таким образом: y`=( Ответ: P=

Слайд 25

Описание слайда:

Список литературы Клюшкин В.Л. Высшая математика для экономистов Кириллов А.Л. Математика для управленцев Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике